Có bằng chứng nào cho thấy phép cộng nhanh hơn phép nhân không?

Giới hạn trên tốt nhất được biết về độ phức tạp thời gian của phép nhân là ràng buộc của Martin Fürer , nhiều hơn độ phức tạp thời gian tuyến tính của phép cộng. Chúng ta có một bằng chứng rằng sự bổ sung vốn dễ dàng hơn phép nhân không? $n\log n2^{O(\log^* n)}$

cc.complexity-theory time-complexity

— Hooman
nguồn

Sửa thời gian ràng buộc.

— Jeffε

xem thêm các vấn đề lớn chưa được giải quyết trong TCS

— vzn

nó sẽ phụ thuộc vào cách bạn đại diện cho số của bạn; nếu bạn xử lý nhật ký của phép nhân số thì nhanh hơn phép cộng đó (vì nó yêu cầu pow và nhật ký)

— ratchet freak

Không.

Không có ràng buộc thấp hơn vô điều kiện tốt hơn so với tầm thường hiện được biết đến với phép nhân số nguyên. Có một số giới hạn thấp hơn có điều kiện mặc dù. Để biết thêm về điều này, bạn có thể xem qua Phép nhân số nguyên nhanh hơn của Martin Fürer . $\Omega(n)$

Chỉnh sửa theo nhận xét của Andrej: Việc bổ sung có thể được thực hiện trong thời gian . Trong so sánh, giới hạn trên được biết đến nhiều nhất cho phép nhân là (xấp xỉ) . Mặt khác, không có giới hạn dưới không tầm thường nào được biết đến với phép nhân, do đó không có bằng chứng nào cho thấy phép cộng nhanh hơn phép nhân. Như (quá) thường trong lý thuyết phức tạp, chúng ta chỉ không biết! $\mathcal O(n)$ $\mathcal O(n\log n)$

— Bruno
nguồn

Dường như với tôi rằng bài báo không chứng minh rằng phép cộng nhanh hơn phép nhân. Tôi có nên cho rằng không có bằng chứng cho điều đó chưa?

— Hooman

Điều Bruno đang nói là đây: rõ ràng chúng ta có thể thực hiện bổ sung trong thời gian tuyến tính và chúng ta không thể thực hiện nhanh hơn thời gian tuyến tính (vì bạn phải xem xét đầu vào). Do đó, cho thấy phép cộng khó hơn phép nhân là điều tương tự như việc chỉ ra rằng phép nhân không thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính. Nhưng không có bằng chứng như vậy.

— Andrej Bauer

@andrej ý bạn là "hiển thị phép nhân khó hơn phép cộng" phải không? áp phích đã được trộn lẫn trên một phiên bản trước đó của câu hỏi. cũng ngụy biện, không có bằng chứng nào được biết đến . điều này cũng có vẻ như là một ứng cử viên tốt cho dòng chảy toán học, "những vấn đề mở" rõ ràng nhất "trong lý thuyết phức tạp"

— vzn

@vzn đó là một câu trả lời tuyệt vời cho câu hỏi MO đó, IMO.

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Tôi không chắc chắn - Tôi không biết liệu phép nhân trong O (n) có gây sốc không. Chắc chắn là một điều ngạc nhiên, nhưng AFAIK không có lý do chính đáng nào ngoại trừ việc tương tự với các vấn đề như sắp xếp, biến đổi Fourier, v.v. để tin rằng vấn đề nhân 'tự nhiên' O (n ^ 2) không thể đơn giản hóa theo thời gian tuyến tính .

— Steven Stadnicki