Lỗi một phía trong các hệ thống chứng minh xác suất

Trong hầu hết các hệ thống chứng minh xác suất (ví dụ định lý PCP), xác suất lỗi thường được xác định ở phía bên dương tính, nghĩa là một định nghĩa điển hình có thể giống như: nếu thì trình xác minh luôn chấp nhận, nhưng trong trường hợp khác xác suất từ ​​chối ít nhất là 1/2.$x \in L$

Có một vấn đề trong việc cho phép lỗi xảy ra ở phía bên kia? Điều đó có nghĩa là trình xác minh luôn từ chối khi cần và không tạo ra nhiều hơn một lỗi liên tục khi cần chấp nhận. Một khả năng rõ ràng khác là cho phép lỗi ở cả hai bên. Những định nghĩa này sẽ tương đương với định nghĩa thường được đưa ra? Hoặc, họ cư xử khác nhau? Hoặc cho vấn đề đó, có một vấn đề thực sự trong việc cho phép các lỗi ở phía bên kia.?

Cho phép lỗi hoàn thành không có vấn đề, và nó thường được xem xét. Dưới đây là một số gợi ý .

Mặt khác, nói chung, việc không tuân theo lỗi âm thanh sẽ loại bỏ đáng kể sức mạnh của một mô hình.

Trong trường hợp hệ thống bằng chứng tương tác, việc không tuân theo lỗi âm thanh sẽ khiến tương tác trở nên vô dụng ngoại trừ giao tiếp một chiều từ người hoạt ngôn đến người xác minh; đó là IP với âm thanh hoàn hảo bằng NP. Điều này có thể được hiển thị bằng cách xem xét một máy NP đoán các bit ngẫu nhiên của trình xác minh và bản ghi tương tác làm cho trình xác minh chấp nhận [FGMSZ89].

Trong trường hợp hệ thống bằng chứng có thể kiểm tra xác suất (PCP), lý do tương tự cho thấy yêu cầu âm thanh hoàn hảo làm cho tính ngẫu nhiên trở nên vô dụng khi chọn vị trí để truy vấn. Chính xác hơn, có thể chỉ ra rằng PCP ( r ( n ), q ( n )) với tính đầy đủ c ( n ) và âm thanh hoàn hảo (ngay cả với các truy vấn thích ứng) bằng với lớp C của các vấn đề quyết định A = ( A _có , A _không ) tồn tại ngôn ngữ B ⊆ {0,1} * × {0,1} * × {0,1} * trong P sao cho

• nếu x ∈ A _có , thì Pr _{y ∈ {0,1} ^{r ( n )}} [ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} sao cho ( x , y , z ) B ] ≥ c ( n ), và
• nếu x ∈ A _không , thì y ∈ {0,1} ^{r ( n )} ∀ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} , ( x , y , z ) B ,

trong đó n = | x |. (Lưu ý rằng trong định nghĩa của lớp C , trường hợp có không yêu cầu phải chuẩn bị toàn bộ chứng chỉ trước khi người xác minh chọn chuỗi ngẫu nhiên y , không giống như định nghĩa thông thường của hệ thống PCP. Chứng chỉ có thể được chuẩn bị sau khi biết y và chỉ phần yêu cầu của chứng chỉ là cần thiết, đó là lý do tại sao độ dài của z là q ( n ).) Kết hợp với giới hạn dưới đơn giản, điều này hàm ý như sau:

• PCP (log, log) với âm thanh hoàn hảo = P.
• PCP (poly, log) với âm thanh hoàn hảo = RP .
• PCP (poly, poly) với âm thanh hoàn hảo = NP.

So sánh các định lý này với các định lý PCP PCP (log, O (1)) = NP và PCP (poly, O (1)) = NEXP, chúng ta có thể thấy rằng yêu cầu âm thanh hoàn hảo có tác động rất lớn.

[FGMSZ89] Martin Fürer, Oded Goldreich, Yishay Mansour, Michael Sipser và Stathis Zachos. Về tính đầy đủ và âm thanh trong các hệ thống bằng chứng tương tác. Trong tính ngẫu nhiên và tính toán , tập. 5 trong số những tiến bộ trong nghiên cứu máy tính , trang 429 Mạnh442, 1989. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oding/PS/fgmsz.ps