Có phải tất cả các hàm có trọng lượng phạm vi tập trung vào các tập kích thước nhỏ được tính toán bởi các mạch AC0?

Có phải tất cả các hàm có trọng lượng phạm vi tập trung vào các tập có kích thước nhỏ (hoặc các số hạng với mức độ thấp) được tính bằng các mạch không? $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
nguồn

Câu hỏi này nghe có vẻ thú vị, mặc dù tôi thiếu một số nền tảng trong phân tích phạm lỗi. Tôi sẽ đánh giá cao tài liệu tham khảo cho các tài liệu liên quan.

— Markus

@Markus: cuốn sách 2.0 này của Ryan O'Donnell là một tài liệu tham khảo tuyệt vời: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Alessandro Cosentino

gần như ngược lại với Linial, Mansour, Nissan 1993 ? Kết quả aarons, ví dụ mẫu cho Linial-Nissan tổng quát có vẻ gần? nhưng imho có một cách để khái quát kết quả năm 1993 bằng cách nào đó ... có thể theo một cách lớn ....

— vzn

một ý tưởng tương tự khác thay vì AC ^ 0, khó từ chối hơn, sẽ là độ sâu không giới hạn nhưng tổng số mạch giới hạn cổng bị giới hạn bởi một số hàm "nhỏ" nói đa thức v.v ...? Ngoài ra, mối quan hệ giữa các mạch đơn điệu và hệ số phạm vi không được biết đến nhiều ...?

— vzn

xem thêm độc lập polylogarithmic đánh lừa các mạch AC ^ 0 bởi braverman

— vzn

Câu trả lời:

Số Hãy xem xét các chức năng sau trên : $\{0,1\}^n$ Rõ ràng chức năng này khó cho AC⁰. Mặt khác, chức năng này gần như không đổi, vì vậy hầu như tất cả các phổ Fourier của nó đều ở cấp độ đầu tiên.

f (x) = = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

Nếu bạn muốn có một phản ví dụ cân bằng, cân nhắc Hàm này hầu như luôn luôn bằng, vì vậy hầu như tất cả phổ Fourier của nó đều ở hai cấp độ đầu tiên.

g (x) = = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— Yuval Filmus
nguồn

Bạn có bất kỳ ví dụ mạnh mẽ nào mà hàm không thể xấp xỉ trong AC0 không?

— MCH

Một hàm tập trung ở các mức

đầu tiên luôn gần với một hàm tùy thuộc vào các đầu vào

, vì vậy nếu chúng ta chỉ quan tâm đến các mức

, thì không có ví dụ mạnh mẽ nào.

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Mức phổ Fourier có nghĩa là gì? Tại sao chức năng này khó cho

A C^{0}

$AC^0$

@Arul Cấp độ Fourier bao gồm tất cả các hệ số Fourier tương ứng với các bộ có kích thước nhất định. Chúng tôi nghĩ về chúng như được sắp xếp theo thứ tự tăng kích thước. Đối với lý do tại sao chức năng này khó cho AC0, đây là một bài tập. Gợi ý: chẵn lẻ là khó cho AC0.

— Yuval Filmus

Có một số cách để hiểu câu hỏi theo ý nghĩa chính xác của "kích thước nhỏ" và "tập trung".

$1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2) Có một định lý của Bourgain rằng nếu nồng độ cao hơn hàm đa số thì hàm đó xấp xỉ một Junta, và do đó phụ thuộc vào các biến O (1).

$\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

$O(\log n)$ $AC^0$

$O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— Gil Kalai
nguồn