Phương pháp tiếp cận GI lấy cảm hứng từ vấn đề nút thắt

Cả hai vấn đề GI và Hôn đều là vấn đề quyết định sự tương đương cấu trúc của các đối tượng toán học. Có bất kỳ kết quả thiết lập kết nối giữa chúng? Các kết nối tốt đẹp của vấn đề nút thắt với vật lý thống kê đã được khám phá thông qua đa thức nút , liệu có kết quả tương tự cho ? $GI$

Sẽ rất đặc biệt hữu ích nếu biết có bất kỳ kết quả / cảnh báo / đề xuất / nhận xét tiêu chuẩn nào trước khi bắt đầu xem xét thúc đẩy bởi vấn đề nút thắt. Trên thực tế, tôi đã tự hỏi nếu đề nghị khám phá theo hướng này cho luận án thạc sĩ của tôi. Tôi quan tâm đến các phương pháp lượng tử / cổ điển đối với các vấn đề và đại số. Những đề nghị khác dều được hoan nghênh. $GI$ $GI$

— DurgaDatta
nguồn

từ đồ thị đẳng cấu toán học trong thế giới toán học : "Một số ý nghĩa, sự đồng hình đồ thị rất dễ thực hiện ngoại trừ một tập hợp các đồ thị khó khăn về mặt bệnh lý dường như gây ra tất cả các vấn đề. Vì vậy, không giống như lý thuyết nút, chưa bao giờ có bất kỳ cặp đồ thị quan trọng nào cho sự đồng hình hóa đã không được giải quyết. ... Thật không may, gần như chắc chắn không có bất biến đồ thị phổ tính toán đơn giản nào, cho dù dựa trên phổ đồ thị hay bất kỳ tham số nào khác của đồ thị (Royle 2004). "

— vzn

Rõ ràng nút tương đương cũng dễ dàng trong thực tế.

— Jeffε

Tôi có poster câu hỏi tương tự ở đây vật lý.stackexchange.com/questions/39328/ cũng có

— DurgaDatta

Theo hiểu biết của tôi, không có nút thắt "khó khăn về mặt bệnh lý" nào gây ra tất cả các vấn đề. Sẽ rất thú vị khi tìm thấy một gia đình của những người không biết có thời gian hoạt động kém trên các chương trình nhận dạng khác nhau, có thể chứng minh hoặc chỉ bằng thực nghiệm.

— Sam Nead

Câu trả lời:

Một kết nối là sự đồng hình đồ thị và đẳng cấu nút là cả hai trường hợp đặc biệt của sự đồng hình 3 mặt. Trong trường hợp nút thắt, hai nút thắt là đẳng cấu nếu phần bổ sung của chúng (đa tạp được hình thành bằng cách xóa các điểm của nút từ 3 không gian) là đồng nhất.

Và trong trường hợp đồ thị, có thể biến đổi đồ thị thành đa tạp theo cách sao cho đồ thị là đẳng cấu khi và chỉ khi đa tạp là đồng cấu. Tôi đã viết một bình luận về điều này trên một bài đăng trên Google+ vào tháng 12 năm ngoái, nhưng tiếc là không phải bài đăng tôi có thể chia sẻ. Việc xây dựng là bắt đầu với một đa tạp cho mỗi đỉnh v, dưới dạng phần bù trong một hình cầu 3 vòng của một vòng lặp độ (v) (kết nối với nhau tại một đỉnh chung). Đối với mỗi uv cạnh, kết nối các đa tạp cho u và v với nhau bằng một phẫu thuậtvà liên kết một vòng từ u và một vòng từ v qua bóng phẫu thuật. Sau đó, mọi sự đồng hình của đồ thị nâng lên thành sự đồng nhất của đa tạp kết quả (điều này sẽ đúng ngay cả khi chúng ta chỉ sử dụng phẫu thuật trên 3 hình cầu mà không có bó hoa) và các bó hoa ngăn không cho sự đa hình hóa không xuất hiện từ biểu đồ .

— David Eppstein
nguồn

câu hỏi chung hơn là mối liên hệ giữa lý thuyết nút và lý thuyết đồ thị. như một nơi có thể bắt đầu, có một mối liên hệ giữa đa thức Jones (được sử dụng để phân loại các nút thắt) và đa thức Tutte của đồ thị phẳng. tức là trong lý thuyết nút thắt, đa thức Tutte xuất hiện dưới dạng đa thức Jones của một nút thắt xen kẽ. (vì vậy có thể có một số kết nối của lý thuyết nút với GI trên đồ thị phẳng.)

xem thms 7,8 trong:

Tính toán đa thức Tutte của đồ thị và đa thức Jones của một liên kết xen kẽ có kích thước vừa phải Sekine, Imai, Tani

JONES POLYNOMIAL VÀ GRAPHS TRÊN MẶT B OLNG OLIVER T. DASBACH, DAVID FUTER, EFSTRATIA KALFAGIANNI, XIAO-SONG LIN, và NEAL W. STOLTZFUS

— vzn
nguồn