Các vấn đề có thể được sử dụng để hiển thị kết quả độ cứng thời gian đa thức

Khi thiết kế một thuật toán cho một vấn đề mới, nếu sau một thời gian tôi không thể tìm thấy thuật toán đa thức, tôi có thể cố gắng chứng minh nó là NP-hard. Nếu tôi thành công, tôi đã giải thích lý do tại sao tôi không thể tìm thấy thuật toán thời gian đa thức. Không phải tôi biết chắc rằng P! = NP, chỉ là đây là điều tốt nhất có thể được thực hiện với kiến ​​thức hiện tại, và thực sự sự đồng thuận là P! = NP.

Tương tự, giả sử tôi đã tìm thấy một giải pháp thời gian đa thức cho một số vấn đề, nhưng thời gian chạy là . Sau rất nhiều nỗ lực, tôi không tiến bộ trong việc cải thiện điều này. Vì vậy, thay vào đó, tôi có thể cố gắng chứng minh rằng nó cứng 3SUM. Đây thường là một trạng thái thỏa đáng, không phải vì tôi tin rằng 3SUM thực sự cần thời gian , nhưng vì đây là tình trạng hiện tại và rất nhiều người thông minh đã cố gắng cải thiện Nó, và đã thất bại. Vì vậy, đó không phải là lỗi của tôi mà đó là điều tốt nhất tôi có thể làm.Θ ( n 2$O(n^2)$$\Theta(n^2)$

Trong những trường hợp như vậy, điều tốt nhất chúng ta có thể làm là kết quả độ cứng, thay vì giới hạn dưới thực tế, vì chúng ta không có bất kỳ giới hạn siêu tuyến tính nào cho Máy Turing cho các vấn đề trong NP.

Có một bộ vấn đề thống nhất có thể được sử dụng cho tất cả các lần chạy đa thức không? Ví dụ, nếu tôi muốn chứng minh rằng không chắc là một vấn đề nào đó có thuật toán tốt hơn , có vấn đề X nào đó để tôi có thể chỉ ra nó là X-hard và để nó ở đó không?$O(n^7)$

Cập nhật : Câu hỏi này ban đầu được hỏi cho các gia đình có vấn đề. Vì không có nhiều gia đình gặp vấn đề và câu hỏi này đã nhận được những ví dụ tuyệt vời về các vấn đề khó khăn riêng lẻ, tôi đang đặt câu hỏi cho bất kỳ vấn đề nào có thể được sử dụng cho kết quả độ cứng thời gian đa thức. Tôi cũng đang thêm một tiền thưởng cho câu hỏi này để khuyến khích nhiều câu trả lời hơn.

Có, thuật toán được biết đến nhiều nhất cho -SUM chạy trong thời gian , vì vậy rất có thể bạn có thể tranh luận một số vấn đề là khó, bởi vì nếu nó ở sau đó bạn có thể giải quyết -SUM nhanh hơn.O ( n ⌈ k / 2 ⌉ ) n 7 n 6,99$k$$O(n^{\lceil k/2 \rceil})$$n^7$$n^{6.99}$$14$

Lưu ý rằng vấn đề -SUM trở nên "dễ dàng" hơn khi tăng: đưa ra thuật toán cải tiến cho -SUM, khá dễ dàng để có được thuật toán cải tiến cho -SUM: lấy tất cả các cặp số trong số của bạn đưa ra ví dụ -SUM, thay thế mỗi cặp bằng tổng của hai và tìm tổng của số trong số đó bằng . Sau đó, thuật toán cho -SUM ngụ ý thuật toán cho -SUM. Nói cách khác, giới hạn dưới chặt chẽ với giák k 2 k O ( n 2 ) n 2 k k 0 O ( n k / 2 - ε ) k O ( n k - 2 ε ) 2 k 2 k $k$$k$$k$$2k$$O(n^2)$$n$$2k$$k$$0$$O(n^{k/2-\varepsilon})$$k$$O(n^{k-2\varepsilon})$$2k$$2k$-SUM là một giả định mạnh mẽ hơn giới hạn dưới chặt chẽ cho -SUM.$k$

Một ứng cử viên khác cho một vấn đề khó khăn là -Clique. Xem câu trả lời -Clique của tôi để biết thêm về điều đó . Nếu bạn có thể chỉ ra (ví dụ) rằng một thuật toán tốt hơn cho vấn đề của bạn ngụ ý thuật toán cho -clique, thì sẽ cần một siêu đột phá để cải thiện thuật toán của bạn. Độ phức tạp được tham số hóa đưa ra nhiều ví dụ về các vấn đề khác như thế này: -Clique khó đối với lớp và -SUM khó đối với .O ( log n ) O ( n 2 ) 3 k W \ [ 1 \] k W \ [ 2 $k$$O(\log n)$$O(n^2)$$3$$k$$W\[1\]$$k$$W\[2\]$

Để tôi cảnh báo bạn rằng mặc dù các vấn đề như thế này rất thuận tiện để giải quyết, nhưng các vấn đề như -SUM không nằm trong số "khó nhất" trong , ví dụ, rất khó xảy ra mọi vấn đề trong thực sự có thể giảm thời gian tuyến tính xuống còn -SUM. Điều này là do -SUM có thể được giải quyết bằng các bit của thuyết không điều kiện trong thời gian tuyến tính, do đó, nếu mọi thứ trong thời gian bậc hai có thể giảm xuống -SUM, thì và các kết quả tuyệt vời khác. Thông tin thêm về điểm này có thể được tìm thấy trong bài viết "Làm thế nào cứng là -Hard vấn đề?"T I M E [ n 2$3$$TIME[n^2]$3 3 O ( log n ) 3 P ≠ N P n 2 n $TIME[n^2]$$3$$3$$O(\log n)$$3$$P \neq NP$$n^2$(Tại một số điểm, "3SUM-hard" được gọi là " -hard"; bài viết SIGACT này đã phàn nàn đúng về tên đó.)$n^2$

Vấn đề Đường dẫn ngắn nhất cho tất cả các cặp (APSP) được cho là cần có thời gian . Giảm từ đó là một cách tuyệt vời để lập luận rằng những cải tiến dựa trên Nhân ma trận nhanh (FMM) là không thể.$\Omega^\star(n^3)$

Người ta tin rằng các thuật toán tốt nhất cho vấn đề affine suy đồi trong chạy không gian ba chiều trong thời gian. Vấn đề là như sau: Với điểm trong không gian ba chiều có tọa độ nguyên, làm bất cứ điểm nằm trên một siêu phẳng chung?O ( n d ) n d d + $d$$O(n^d)$$n$$d$$d+1$

Vấn đề thoái hóa affine là -SUM cứng. Nếu chúng ta cắm giới hạn dưới được phỏng đoán cho -SUM, chúng ta sẽ có được giới hạn dưới của . Tuy nhiên, sự phỏng đoán về sự phức tạp của vấn đề thoái hóa affine mạnh hơn nhiều đối với .k Ω ( n ⌊ d / 2 ⌋ + 1 ) d ≥ $(d+1)$$k$$\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$$d \geq 3$

J. Erickson, S. Har-Peled và DM Mount, về vấn đề bình phương trung bình nhỏ nhất, Hình học rời rạc và tính toán, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J. Erickson và R. Seidel. Giới hạn dưới tốt hơn trong việc phát hiện thoái hóa và hình cầu. Tính toán rời rạc. Geom., 13: 41 Hàng57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pub/degen.html

J. Erickson. Giới hạn dưới mới cho các vấn đề thân tàu lồi trong các kích thước kỳ lạ. SIAM J. Comput., 28: 1198 Từ1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pub/convex.html

Vấn đề của Hopcroft được phỏng đoán là cần có thời gian : Cho một tập hợp điểm và một tập hợp dòng trong mặt phẳng, có điểm nào nằm trên đường thẳng nào không?n $\Theta(n^{4/3})$$n$$n$