Tối đa hóa chức năng mô đun con của hai bộ với các ràng buộc kích thước khác nhau

Tôi có hai miền hoàn toàn khác biệt (táo và cam) và tôi có một hàm lấy một tập hợp các đối tượng từ miền đầu tiên và một tập hợp các đối tượng từ miền thứ hai và trả về một số thực. $f$

có các thuộc tính thú vị sau: $f(S,T)$

sửa lỗi , nó là âm bản không âm, mô đun con và đơn điệu ; $T$ $S$
sửa chữa , nó là không âm, submodular và đơn điệu wrt . $S$ $T$

Tôi muốn tối đa hóa với hai ràng buộc cardinality và . $f(S,T)$ $|S| = s$ $|T| = t$

Làm thế nào tôi có thể làm điều đó? Nếu tôi xem xét không gian sản phẩm, chức năng là đơn điệu và mô đun con. Do đó tôi có thể áp dụng thuật toán tham lam tiêu chuẩn. Xử lý hai ràng buộc kích thước khác nhau, có thể không phải là vấn đề: thêm và theo trình tự cho phép tôi tăng không tăng . $(a, x)$ $(a, y)$ $|T|$ $|S|$

Câu hỏi là liệu xấp xỉ vẫn giữ. $1-1/e$

ds.algorithms optimization submodularity

— Francesco Bonchi
nguồn

f (\emptyset, \emptyset) = f ({s}, \emptyset) = f (\emptyset, {t}) = 0

$f(\emptyset,\emptyset)=f(\{s\},\emptyset)=f(\emptyset,\{t\})=0$

f ({s}, {t}) = 1

$f(\{s\},\{t\})=1$

Cảm ơn, điểm tốt. Vì vậy, hãy quên phần thứ hai của câu hỏi của tôi. Bất kỳ ý tưởng về làm thế nào để tối đa hóa một chức năng như vậy?

— Francesco Bonchi

$(V,E)$ $V=V_1 \uplus V_2$ $f(S,T)$ $S \subseteq V_1, T \subseteq V_2$ $S$ $T$ $f$ $f(S,\cdot)$ $f(\cdot,T)$ $a=b=k$ $k$ $k$

— Chandra Chekuri
nguồn