Tính gần đúng của vấn đề chi

11

Những gì hiện được biết về tính gần đúng của vấn đề chi? Một tìm kiếm sơ bộ cho tôi biết rằng một xấp xỉ hệ số không đổi là tầm thường đối với các đồ thị đủ dày đặc và thuật toán -appro xấp xỉ đã bị loại trừ. Là thông tin này được cập nhật, hoặc có giới hạn tốt hơn được biết đến? $n^\epsilon$

cc.complexity-theory approximation-hardness topological-graph-theory

8

Các kết quả được công bố tốt nhất đều xuất hiện trong một bài báo năm 1997 của Jianer Chen, Saroja P. Kanchi và Arkady Kanevsky.

Đối với bất kỳ cố định nào , việc tính toán chi của đồ thị có lỗi cộng gộp là NP-hard. $\varepsilon>0$ $O(n^\varepsilon)$
Có một tuyến tính thời gian thuật toán tầm thường để nhúng bất kỳ đồ thị -vertex của (không rõ) chi trên một bề mặt orientable của chi : Chỉ định một tùy ý để cyclic để các cạnh để lại mỗi đỉnh (giữ các vòng và các cạnh song song với nhau). Nói cách khác, khi chi lớn, mỗi lần nhúng là một xấp xỉ tốt của việc nhúng tốt nhất . $n$ $g$ $\max\{4g, g+4n\}$
Có một thuật toán gần đúng thời gian đa thức cho các đồ thị mức giới hạn. $O(\sqrt{n})$

Đó là một câu hỏi mở cho dù có một thuật toán gần đúng yếu tố hằng số hiệu quả.

— Jeffε
nguồn

2

Tôi không hiểu làm thế nào từ [Chen, Kanchi, Kanevsky '97] rằng tính toán chi với phép tính gần đúng nhân của là NP-hard. Ví dụ: tính toán MAX CUT với xấp xỉ cộng gộp cũng là NP-hard, nhưng thuật toán của Goemans và Williamson cho ra xấp xỉ 0,878.

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

O (n^{ε})

$O(n^{\varepsilon})$

— Yury

Vâng bạn đã đúng. Tôi đã cập nhật câu trả lời của tôi trong ánh sáng của bạn.

— Jeffε

5

Tôi muốn thêm vào câu trả lời toàn diện của Jɛ ﬀ E rằng theo hiểu biết tốt nhất của tôi, không có giới hạn nào thấp hơn về yếu tố gần đúng cho vấn đề này. Theo như chúng tôi biết, có thể có một thuật toán gần đúng luôn luôn đưa ra một xấp xỉ nhân tố không đổi (ngay cả khi chi rất nhỏ).

Bài báo Chen, Kanchi và Kanevsky [CKK '97] chỉ nói rằng tính toán chi với lỗi phụ gia là NP-hard. Đây là một phác thảo rất không chính thức về lập luận của họ. Rõ ràng là đối số này không thể được sử dụng để chứng minh giới hạn dưới của yếu tố gần đúng. Hãy xem xét một biểu đồ sao cho NP khó xác định xem hay (đối với một số ) ; một đồ thị như vậy tồn tại vì vấn đề là NP-hard. Hãy là số đỉnh của . Gọi là hằng số lớn. Lấy tách rời các bản sao của đồ thị $O(n^{1-\varepsilon})$ $G$ $\mathrm{genus}(G) \leq g^*$ $\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$ $g^*$ $n$ $G$ $k$ $N = n^k$ $G$ và xem xét công đoàn của họ. Sau đó, trong biểu đồ thu được , thật khó để xác định xem hay . Nghĩa là, NP-khó tính toán với lỗi cộng gộp , trong đó . Việc xây dựng này không cho chúng tôi bất kỳ ràng buộc nào thấp hơn về yếu tố gần đúng; tỷ lệ so với bằng tỷ lệ của với . $G'$ $\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$ $\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$ $\mathrm{genus}(G')$ $N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$ $\varepsilon = 1/(k+1)$ $N(g^*+1)$ $Ng^*$ $g^*+1$ $g^*$

— Yury
nguồn