Vấn đề đếm gần đúng khi bắt BQP

Trong mô hình hộp đen, vấn đề xác định đầu ra của máy BPP trên đầu vào là vấn đề đếm gần đúng của việc xác định với lỗi phụ gia 1/3 (giả sử).x E r M ( x , r $M(x,r)$$x$$E_r M(x,r)$

Có một vấn đề tương tự cho BQP? Nhận xét này của Ken Regan cho thấy một vấn đề như vậy

Bạn có thể giảm một câu hỏi BPP để xấp xỉ một hàm #P, nhưng với BQP, điều bạn nhận được là sự khác biệt của hai hàm #P, hãy gọi chúng là và . Xấp xỉ và riêng biệt không giúp bạn xấp xỉ khi gần bằng 0!g f g f - g f - $f$$g$$f$$g$$f - g$$f - g$

BQP giúp bạn một chút trợ giúp: Khi câu trả lời cho câu hỏi BQP trên đầu vào là có, bạn nhận được rằng gần với căn bậc hai của , trong đó các vị từ đếm xác định và có m biến nhị phân sau khi bạn thay thế cho . (Không có thanh giá trị tuyệt đối; Bạn có thể nhận được . Theo các biểu diễn chung của mạch lượng tử cho BQP, trở thành số cổng Hadamard.) Khi câu trả lời là không, chênh lệch gần bằng 0.f ( x ) - g ( x ) 2 m f g x f ( x ) > g ( x ) $x$$f(x) - g(x)$$2^m$$f$$g$$x$$f(x) > g(x)$$m$

Bạn có thể xây dựng chính xác một vấn đề như vậy càng gần với BQP không? Tôi hy vọng điều gì đó như: được cấp quyền truy cập hộp đen cho các hàm ánh xạ đến , với lời hứa rằng ..., ước tính trong phạm vi .X Y f - g $f,g$$X$$Y$$f-g$$\varepsilon$

Emanuele: Thật không may, chúng tôi không biết về bất kỳ vấn đề nào trong hộp đen khi bắt BQP đơn giản như vấn đề bạn đã đề cập khi bắt BPP.

Theo trực giác, điều này là bởi vì thật khó để nói về BQP mà không mang lại sự thống nhất dưới hình thức này hay hình thức khác. Khả năng tổng hợp cả số dương và số âm là những gì làm cho BQP mạnh hơn BPP, nhưng sau đó tính không công bằng là thứ khiến BQP không mạnh hơn #P! :-)

Phải nói rằng, bên cạnh Dawson et al. bài báo mà Martin Schwarz liên kết đến, bạn chắc chắn nên kiểm tra cái này và cái này bởi Janzing và Wocjan, đưa ra những vấn đề hứa hẹn "đáng kinh ngạc" mang tính BQP.

Ngoài ra, hãy để S {0,1} ⁿ và xem xét hàm Boolean f: S → {0,1}. Sau đó, tôi có một phỏng đoán từ nhiều năm trước nói rằng Q (f), độ phức tạp truy vấn lượng tử lỗi của f, có liên quan đến đa thức với mức độ tối thiểu của một đa thức thực p: R ⁿ → R sao cho

(i) p (x) [0,1] với mọi x∈ {0,1} ⁿ và

(ii) | p (x) -f (x) | ≤ với mọi x∈S.

Nếu phỏng đoán này đúng, thì "bài toán đếm gần đúng khi bắt BQP" sẽ chỉ đơn giản là xấp xỉ giá trị của đa thức polylog (n) -degree p: R ⁿ → R, tại một điểm được chỉ định trên khối Boolean, với điều kiện p là giới hạn ở mọi nơi trên khối Boolean. Điều này có thể gần đến mức người ta có thể trả lời câu hỏi của bạn.

Bài viết này xây dựng trên các ý tưởng sketeched ở trên một cách chi tiết.