Thuật toán logspace trên đồ thị với chiều rộng cây giới hạn

Chiều rộng của cây đo mức độ gần của đồ thị với cây. Đó là NP-hard để tính chiều rộng cây. Là tốt nhất được biết đến xấp xỉ thuật toán đạt hệ số. $O(\sqrt{{\log}n})$

Định lý của Courcelle nói rằng bất kỳ tính chất nào của đồ thị có thể xác định được trong logic thứ hai đơn (MSO2) có thể được quyết định theo thời gian tuyến tính trên bất kỳ loại biểu đồ nào có chiều rộng của cây . Một bài báo gần đây cho thấy định lý của Courcelle vẫn giữ khi "thời gian tuyến tính" được thay thế bằng "logspace". Tuy nhiên, điều này không giải quyết được độ phức tạp không gian của biểu đồ đẳng cấu đồ thị trên đồ thị có chiều rộng cây giới hạn. Kết quả được biết đến nhiều nhất đặt nó trong LogCFL.

Có vấn đề nào khác không:

NP-hard (hoặc không được biết là P) trên các biểu đồ chung và
được biết là có thể giải được trong thời gian tuyến tính / đa thức trên các biểu đồ có chiều rộng cây giới hạn và
KHÔNG được biết là trong LogSpace?

— Shiva Kintali
nguồn

Là gì

đề cập trong các yếu tố xấp xỉ?

n

$n$

— gphilip

là số đỉnh trong đồ thị đầu vào.

n

$n$

— Shiva Kintali

Chúng ta có thể, nói chung, làm tốt hơn so với

trong xấp xỉ treewidth. Các đa thức-thời gian thuật toán xấp xỉ tốt nhất mà tôi biết đạt được một

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

hệ số gần đúng, trong đó

là treewidth của đồ thị. Xem Feige, Hajiaghayi và Lee,Cải thiện thuật toán xấp xỉ cho các bộ tách đỉnh có trọng lượng tối thiểu, STOC 2005.

O (\sqrt{\log w})

$O(\sqrt{\log w})$

w

$w$

— gphilip

Đa thức Tutte là một ví dụ.

Đây là một khái quát của đa thức sắc độ , bản thân nó là một vấn đề khó # P trong bất kỳ công thức hợp lý nào. Trong

Đánh giá đa thức Tutte cho đồ thị của chiều rộng cây bị ràng buộc , SD Noble, kết hợp, xác suất và tính toán, 1998,

một thuật toán thời gian đa thức được đưa ra trong đó độ phức tạp thời gian là về $O(f(k)n^{4+\epsilon})$ $k$ $n$ , trong đó vấn đề phức tạp được thảo luận trong phần 8.

Dường như vấn đề không thể được thể hiện trực tiếp trong MSO2, mặc dù tôi không quen với các định nghĩa chi tiết ... Hy vọng vấn đề này là thứ bạn cần!

— Hsien-Chih Chang 張顯
nguồn

Hàm f là gì?

— Michael Blondin

Theo bài báo, nó là một chức năng trong

với trật tự về

k

$k$

O (2^{(k^{3 + ϵ})})

$O(2^{(k^{3+\epsilon})})$

Makowski nói rằng "tất cả các đa thức đồ thị được nghiên cứu trong tài liệu đều có thể xác định được" và đưa ra một công thức của đa thức Tutte theo thuật ngữ của SOL, trang 15 của "Từ sở thú đến động vật học: Hướng tới một lý thuyết tổng quát về đa thức đồ thị". Trong "Sử dụng thuật toán của định lý Feferman-Vaught", ông đã mở rộng định lý của Courcelle để hiển thị khả năng chuyển đổi cho các đa thức có thể xác định được trên các đồ thị có chiều rộng của cây.

— Yar Tư Bulatov