Liệu định mức dấu vết của sự khác biệt của hai ma trận mật độ là một hàm ý hai ma trận mật độ này có thể đồng thời chéo nhau không?

Tôi tin rằng câu trả lời cho câu hỏi này là nổi tiếng; nhưng, thật không may, tôi không biết.

Trong điện toán lượng tử, chúng ta biết rằng các trạng thái hỗn hợp được biểu diễn bằng ma trận mật độ. Và định mức dấu vết của sự khác biệt của hai ma trận mật độ đặc trưng cho sự phân biệt của hai trạng thái hỗn hợp tương ứng. Ở đây, định nghĩa của định mức theo dõi là tổng của tất cả các giá trị riêng của ma trận mật độ, với hệ số nhân thêm 1/2 (theo sự khác biệt thống kê của hai phân phối). Người ta biết rằng, khi sự khác biệt của hai ma trận mật độ là một, thì hai trạng thái hỗn hợp tương ứng là hoàn toàn có thể phân biệt được, trong khi khi chênh lệch bằng 0, hai trạng thái hỗn hợp hoàn toàn không thể phân biệt được.

Câu hỏi của tôi là, liệu định mức dấu vết của sự khác biệt của hai ma trận mật độ có phải là một hàm ý hai ma trận mật độ này có thể đồng thời chéo nhau không? Nếu đây là trường hợp, sau đó thực hiện phép đo tối ưu để phân biệt hai trạng thái hỗn hợp này sẽ hành xử như để phân biệt hai phân phối trên cùng một miền với sự hỗ trợ rời rạc .

Đây là một cách để chứng minh sự thật mà bạn quan tâm.

Giả sử và là ma trận mật độ. Giống như mọi ma trận Hermitian khác, nó có thể thể hiện sự khác biệt như cho và là semidefinite tích cực và có những hình ảnh trực giao. (Đôi khi điều này được gọi là phân hủy Jordan-Hahn, nó là duy nhất và dễ dàng thu được từ một phân hủy quang phổ của .) Lưu ý rằng thực tế là và có hình ảnh trực giao ngụ ý rằng họ là đồng thời những đường chéo, mà tôi giải thích là tài sản bạn quan tâm.ρ 1 ρ 0 - ρ 1 ρ 0 - ρ 1 = P 0 - P 1 P 0 P 1 ρ 0 - ρ 1 P 0 P $\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$$P_0$$P_1$

Định mức theo dõi của chênh lệch (như bạn xác định, với hệ số nhân 1/2), được đưa ra bởi Theo giả định rằng số lượng này là 1, chúng tôi sẽ kết luận rằng và , điều này chứng minh những gì bạn muốn chứng minh.$\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Để rút ra kết luận này, trước tiên hãy lưu ý rằng và , vì vậy . Tiếp theo, hãy và là dự trực giao lên những hình ảnh của và , tương ứng. Chúng tôi có vì vậy Cả và$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$phải được chứa trong khoảng [0,1], từ đó chúng tôi kết luận rằng và . Từ các phương trình này, không khó để kết luận và , và do đó theo phương trình trên. Một đối số tương tự hiển thị .Tr ( Π 0 ρ 1 ) = 0 Π 0 ρ 0 = ρ 0 Π 0 ρ 1 = 0 P 0 = ρ 0 P 1 = ρ $\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$$\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Đúng. Nếu khoảng cách theo dõi của hai ma trận mật độ bằng 1, thì chúng có các giá đỡ trực giao, và do đó chúng đồng thời có thể chéo.