Kết quả cho thấy sự tồn tại / không tồn tại của đồ thị hữu hạn với các thuộc tính tính toán cụ thể ngụ ý các kết quả phức tạp nhất định

Có bất kỳ kết quả đã biết nào cho thấy sự tồn tại (hoặc không tồn tại) của đồ thị hữu hạn với các thuộc tính tính toán cụ thể ngụ ý các kết quả phức tạp nhất định (như P = NP) không?

Đây là một kết quả hoàn toàn giả thuyết : Nếu một đồ thị hữu hạn tồn tại với các cạnh A, B, C và D xa nhau sao cho tất cả các kết quả khớp tối đa đều chứa tất cả A, B, C và D hoặc không chứa A, B, C và D , sau đó P = NP.

Một kết quả của loại này đã được chứng minh bởi Lipton "Khi chứng minh rằng đồ thị không có cụm lớn: Mối liên hệ với lý thuyết Ramsey" . Anh ta kết nối các phỏng đoán ràng buộc thấp hơn với các kết quả lý thuyết đồ thị thuần túy, cho thấy rằng nếu không có trong c o N T I M E ( n O ( log n ) ) / ( log log n ) , thì khả năng không thể đạt được của M A X - C L I Q U $NP$$coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$$MAX-CLIQUE$ngụ ý rằng có những đồ thị với các thuộc tính lý thuyết Ramsey gọn gàng. (Xem bài viết để biết định nghĩa.) Tôi không biết liệu có bất kỳ tiến triển nào đã được thực hiện để chứng minh liệu các biểu đồ như vậy có thực sự tồn tại hay không.

Xin lỗi, tôi chỉ bắt gặp câu hỏi 1 năm tuổi này thôi ...

Trong thực tế, có rất nhiều kết quả cho thấy các biểu đồ rõ ràng với một số thuộc tính ngụ ý giới hạn dưới mạnh mẽ cho các hàm boolean. Nói, đồ thị có kích thước affine hoặc chiếu cao ngụ ý giới hạn dưới mạnh mẽ cho các công thức và chương trình phân nhánh. Ngoài ra còn có các biện pháp đồ thị "đơn giản" hơn, giới hạn dưới tốt hơn sẽ có hậu quả lớn trong độ phức tạp tính toán. Hãy để tôi phác thảo một số trong số họ.

$s(G)$$s$$G$$\leq s$$\leq s$$s(G)\geq n^{1/2}$$n\times n$$G$$s(G)\geq n^c$$c>0$$K_{2,2}$$s(G)$

$Star(G)$$2$$G$$K_{1,n}$$K_{n,1}$$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$$G$$Star(G)\geq (4+c)n$$c>0$$m\times n$$m=o(n)$$Star(G)\geq (2+c)n$$Star(G)\geq 2n-1$

$Sym(G)$$t$$T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$$t$$(u,v)\in G$$(u,v)$$T$$Sym(G)\geq n/2$$Sym(G)$$2^{poly(\ln\ln n)}$$ACC$$Sym(G)$$Sym(G)=O(\log n)$$T$

Thông tin chi tiết về cách tất cả điều này xảy ra có thể được tìm thấy ở đây .

$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$$O(n)$$O(\log n)$độ sâu - một cái gì đó chúng ta vẫn còn lâu mới chứng minh được) theo các giả định rằng một số loại biểu đồ nhất định, được gọi là siêu tập trung, không tồn tại. (Đây là một câu hỏi không có triệu chứng, và không chỉ về một biểu đồ.) Tuy nhiên, sau đó ông đã chỉ ra rằng những điều này tồn tại (và trên thực tế có những cách sử dụng khác)

Câu trả lời chắc chắn là "có" nếu chúng ta nói về các họ đồ thị, thay vì đồ thị cụ thể. Ví dụ, có một phỏng đoán của Mihail và Vazirani rằng tất cả các đồ thị đa giác 0/1 đều là các bộ mở rộng cạnh tốt hoặc rất tốt (nghĩa là mở rộng cạnh của chúng được giới hạn dưới 1 / đa thức (độ) hoặc 1).

Nếu điều này là đúng, thì tồn tại các thuật toán xấp xỉ ngẫu nhiên hiệu quả của chuỗi Markov Monte Carlo cho một số bài toán tổ hợp mở và tính toán thông qua chiến lược lấy mẫu của Alon, Jerrum và Sinclair.

Trong một tĩnh mạch tương tự, nếu tồn tại các họ đồ thị đa giác có đường kính tăng nhanh hơn bất kỳ đa thức nào về số lượng mặt và mức độ đồ thị, thì lập trình tuyến tính có thể được giải quyết trong thời gian đa thức mạnh thông qua các thuật toán theo cạnh.

Mở rộng về nhận xét của Anand Kulkarni:

Giả sử có một máy Turing xác định M nhận ra SAT trong thời gian đa thức. Khi đó quan hệ chuyển tiếp hữu hạn của M sẽ là một hàm. Chúng tôi biết các TM nhận ra SAT trong thời gian đa thức, nhưng quan hệ chuyển tiếp của chúng không phải là chức năng. Lưu ý rằng mối quan hệ chuyển tiếp là một biểu đồ hướng lưỡng cực với các bộ (trạng thái, biểu tượng băng) trong một phần hai, bộ dữ liệu (trạng thái, biểu tượng băng, di chuyển) trong phần hai phần tử khác và vòng cung từ cặp sang bộ ba.

Vì vậy, tầm thường nếu có một sơ đồ như vậy là một hàm, thì P = NP.

Tất nhiên, đây không phải là một định nghĩa rất tự nhiên, vì nó đòi hỏi máy móc phụ trợ phải có ý nghĩa đối với yêu cầu rằng mọi đường dẫn trong không gian trạng thái đạt đến trạng thái chấp nhận có độ dài giới hạn bởi một đa thức trong kích thước đầu vào. Không rõ ràng tập hợp các biểu đồ hữu hạn đại diện cho các máy Turing có giới hạn đa thời gian trông như thế nào, hoặc liệu các biểu đồ này có các thuộc tính lý thuyết đồ thị thú vị hay không.