Có bất kỳ lớp chức năng nào đòi hỏi các nguồn tài nguyên khác nhau để tính toán so với tính toán nghịch đảo của chúng không?

Xin lỗi trước nếu câu hỏi này quá đơn giản.

Về cơ bản, điều tôi muốn biết là nếu có bất kỳ hàm $f(x)$ có các thuộc tính sau:

Lấy là khi tên miền và tên miền được giới hạn ở chuỗi -bit. Sau đó$f_n(x)$$f(x)$$n$

1. $f_n(x)$ là tiêm
2. $f_n(x)$ là tính từ
3. $f_n(x)$ sử dụng ít tài nguyên hơn (không gian / thời gian / độ sâu mạch / số cổng) để tính toán theo một số mô hình hợp lý hơn , trong đó .$f^{-1}_n(y)$$y=f_n(x)$
4. Sự khác biệt tài nguyên cho so với tỷ lệ theo một số hàm tăng nghiêm ngặt của .f - 1 ( y ) $f_n(x)$$f^{-1}(y)$$n$

Tôi có thể đưa ra các ví dụ trong đó hàm là tính từ hoặc hàm, nhưng không phải cả hai trừ khi tôi sử dụng mô hình tính toán có sẵn. Nếu tôi chọn một mô hình tính toán cho phép dịch chuyển trái theo đơn vị thời gian trên một số vòng, nhưng không phải dịch chuyển phải, thì tất nhiên có thể đưa ra một tuyến tính trên đầu (hoặc cao hơn nếu bạn coi một số hoán vị phức tạp hơn là nguyên thủy) . Vì lý do này, tôi chỉ quan tâm đến các mô hình hợp lý, trong đó tôi chủ yếu có nghĩa là máy Turing hoặc mạch NAND hoặc tương tự.

Rõ ràng điều này phải đúng nếu $P\neq NP$ , nhưng dường như điều này cũng có thể xảy ra nếu $P=NP$ , và do đó không nên quyết định câu hỏi đó.

Hoàn toàn có thể là câu hỏi này có một câu trả lời rõ ràng hoặc một trở ngại rõ ràng để trả lời mà tôi đã bỏ lỡ.

Tôi đã được yêu cầu đăng lại nhận xét của tôi. Tôi đã chỉ ra bài báo này của Hastad, cho thấy có tồn tại hoán vị trong mà P-khó đảo ngược:$NC^0$

http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(87)90053-6 (PS)

Đối với các mạch boolean trên cơ sở nhị phân đầy đủ (với số đo phức tạp là số lượng cổng trong một mạch tối thiểu) tỷ lệ được biết đến nhiều nhất cho hoán vị C ( f - 1$C(f)$. Theo tôi biết, hằng số tốt nhất đã đạt được trongtác phẩm nàycủa Hiltgen và bằng 2.$\frac{C(f^{-1})}{C(f)} = const$

Biên tập. Khi bạn muốn tỷ lệ tăng lên khi tăng lên, điều này không trả lời câu hỏi của bạn. Tuy nhiên, đối với các mạch boolean trên cơ sở nhị phân đầy đủ, không có gì tốt hơn được biết đến.$n$

Trước hết, tôi muốn chỉ ra surjectivity đó không rõ ràng mà không cần xác định codomain của hàm. Vì vậy, trong mô tả của tôi dưới đây, tôi sẽ đề cập rõ ràng đến tên miền mà chức năng là tính từ.

Cả hai hàm logarit hoặc RSA rời rạc đều là những hoán vị được phỏng đoán là khó đảo. Dưới đây, tôi sẽ mô tả chức năng logarit rời rạc.

Đặt là một số nguyên tố n -bit và g là một bộ tạo của nhóm nhân Z ∗ p n . Xác định f n : Z p n → Z p n là f n ( x ) = g $p_n$$n$$g$$\mathbb{Z}_{p_n}^*$$f_n \colon \mathbb{Z}_{p_n} \to \mathbb{Z}_{p_n}$ .$f_n(x) = g^x \pmod{p_n}$

Sau đó, là một hàm có các thuộc tính như được nêu trong câu hỏi của bạn: Nó là cả hàm và tính từ (trên tên miền Z p n ), nó có thể tính toán được trong thời gian đa thức, nhưng nó được phỏng đoán rằng không có thuật toán hiệu quả nào có thể đảo ngược f n trên Trung bình cộng.$f_n$$\mathbb{Z}_{p_n}$$f_n$