Bằng chứng, Rào cản và P vs NP

25

Người ta biết rằng bất kỳ bằng chứng nào giải quyết câu hỏi P vs NP đều phải vượt qua quá trình tương đối hóa , bằng chứng tự nhiên và các rào cản đối kháng . Sơ đồ sau phân vùng "không gian bằng chứng" thành các vùng khác nhau. Ví dụ, $RN$ tương ứng với tập hợp các bằng chứng tương đối hóa và nhập tịch. $GCT$ (Lý thuyết phức tạp hình học) tất nhiên là khu vực bên ngoài nghiêm ngặt.

Kể tên một số bằng chứng cùng với các khu vực nổi tiếng nhất mà họ thuộc về. Đặt chúng trong một cách tốt nhất có thể có nghĩa là, nếu một bằng chứng được biết là tương đối hóa, quen thủy thổ và algebrize sau đó nó nên được đặt trong không chỉ ở . Nếu một bằng chứng tương đối hóa nhưng không tự nhiên thì nó thuộc về và cứ thế. $RNA$ $RN$ $R$ ${\setminus}$ $N$

văn bản thay thế

— Shiva Kintali
nguồn

Nhưng có bằng chứng xác thực nào về P vs NP không?

— gphilip

2

Tôi nghĩ rằng đây là một câu hỏi CW cổ điển.

— Suresh Venkat

@gphilip Chúng ta đang nói về bằng chứng ràng buộc thấp hơn trong lý thuyết phức tạp nói chung.

— Shiva Kintali

@Suresh Đặt bằng chứng trong các khu vực này là không tầm thường. Những người đăng câu trả lời nên được khen thưởng (bằng cách bỏ phiếu tất nhiên) vì kiến thức và sự hiểu biết của họ về những rào cản này. Bạn nghĩ sao ?

— Shiva Kintali

Sau khi đọc câu trả lời của Suresh bên dưới, tôi nghĩ rằng tôi đã nhận được câu hỏi (sửa tôi nếu tôi sai): bạn đang tìm cách phân loại biểu mẫu "Nếu một bằng chứng giải quyết P vs NP có thuộc tính X, thì nó thuộc về vùng Y trong hình ảnh." Trong câu trả lời của Suresh, X là "Tương tác" và Y cũng ở ngoài R, có thể cả bên ngoài N.

— gphilip

17

Tôi nghĩ rằng bạn cần vẽ lại sơ đồ Venn của mình ... bất kỳ sự ngăn chặn nào của các lớp phức tạp tương đối hóa cũng sẽ xoay vòng, ít nhất là theo nghĩa của Aaronson và Wigderson. Đó là, quyền truy cập vào "phần mở rộng mức độ thấp" của một nhà tiên tri chỉ mạnh hơn quyền truy cập vào nhà tiên tri. Tương tự như vậy, bất kỳ nhà tiên tri nào cho thấy rằng một sự tách biệt đòi hỏi các kỹ thuật "không tách rời" ngụ ý rằng các kỹ thuật "không tương đối hóa" cũng được yêu cầu.

— Ryan Williams
nguồn

Xin chào Ryan, tôi giữ sơ đồ đơn giản để chúng tôi cũng có thể thảo luận về "sự sụp đổ" của các khu vực này. Ví dụ, câu trả lời của bạn có thể được trình bày lại là "

theo nghĩa Aaronson-Wigderson".

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— Shiva Kintali

4

Những gì Ryan nói chỉ giữ lại để ngăn chặn. Một kết quả như P = NP ngụ ý P = PH tương đối hóa nhưng không biến đổi.

— Lance Fortnow

@Lance: Cảm ơn đã làm rõ. Vì vậy, nó có ý nghĩa để rời khỏi sơ đồ như nó là.

— Shiva Kintali

3

Bây giờ tôi mới thấy điều này ... thực ra, Scott và Avi cũng đưa ra một vài hàm ý "xoay vòng". Khái niệm của họ chắc chắn được định nghĩa theo cách để thu hút sự tương đối hóa. (Đối với ngụ ý Lance trích dẫn, họ sẽ có thể nói rằng ý nghĩa algebrizing là "

ngụ ý

.")

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— Ryan Williams

13

Trái ngược với một số tuyên bố trước đó trong chủ đề này, sự phân chia theo nghĩa của Aaronson & Wigderson không được biết đến để thuyết phục tương đối hóa. Ví dụ,

\begin{matrix} (†) & (\exists C : C \subset N E X P \land C ⊄ P / p o l y) ⟹ N E X P ⊄ P / p o l y \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

là một tuyên bố tương đối hóa. (Trên thực tế, nó có một bằng chứng tương đối hóa, bất cứ điều gì có thể có ý nghĩa với người đọc.) Nhưng nó không được biết đến với sự xoay vòng, như chính Aaronson & Wigderson đã đề cập trong Phần 10.1 của bài báo [1]. (Do đó, trong khi AW cho chúng ta biết trong sơ đồ trên phải nằm bên ngoài , có thể hiểu rằng $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ nằm bên trong!) $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

Tuy nhiên, một công trình gần đây của Eric Bach và bản thân tôi [2] đã đưa ra một công thức của sự phân tách mà không tương đối hóa. Về cơ bản, nếu chúng ta sử dụng khái niệm AW của một nhà tiên tri đại số --- ký hiệu là cho một số ngôn ngữ --- và sửa đổi nó một cách khôn ngoan, thì chúng ta có thể loại bỏ các bệnh lý như ở trên. $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

Kết quả cuối cùng là sự phân chia, khi được xác định một cách phù hợp, là sự tương đối hóa đối với một lời tiên tri đại số --- một phép tính tương đối đại số, trong đó mọi nhà tiên tri đều nhận được "lắc lư" --- nghĩa là là tập hợp trống trong sơ đồ trên , vì thế như vậy là . $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[1] http://www.scottaaronson.com/ con / ach.pdf
[2] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/

Tái bút: Một công thức khác cho sự phân chia được đề xuất bởi Impagliazzo, Kabanets và Kolokolova trước đó, cũng đặt bên trong , nhưng không được biết là mạnh mẽ như khái niệm AW. Xem bài viết của tôi với Eric để so sánh. $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— Barış Aydınlıoğlu
nguồn

Cảm ơn Baris. Tôi rất vui vì cuối cùng cũng có người tìm thấy khái niệm về sự phân chia chính thức làm những gì chúng ta nghĩ nó nên :)

— Ryan Williams

11

Các định lý phân cấp thời gian và không gian tương đối hóa. Họ là đồng phục, vì vậy họ dường như không nhập tịch.

tôi nghĩ kết quả đường chéo gián tiếp như giới hạn thời gian thấp hơn của Lance Fortnow, et al. và kết quả của Ryan Williams cũng không tương đối vì chúng không phải là hộp đen (nhưng tôi không chắc về điều này). Các bằng chứng dường như không nhập tịch vì chúng sử dụng các định lý phân cấp.

$TC^0$

— Kaveh
nguồn

7

Bằng chứng tương tác không tương đối hóa. Tôi không nghĩ họ nhập tịch vì họ đồng phục.

— Suresh Venkat
nguồn