Sự phức tạp của việc sắp xếp

Không khó để chỉ ra rằng việc sắp xếp một mảng các số là khó đối với . Nếu đầu vào là một mảng 1s và 0 thì thực chất đó là hàm C o u n t (đã cho n bit, xuất số 1s trong nhị phân) vì C o u n t hoàn thành cho T C 0 và hoàn toàn có thể để chuyển đổi số đơn vị thành số nhị phân và số logarit nhỏ (logarit) thành số đơn vị trong A C 0 :$\mathsf{TC^0}$$Count$$n$$Count$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{AC^0}$

S o r t ( → x ) = U n một r y ( C o u n t ( → x ) $Count(\vec{x}) = Binary(Sort(\vec{x}))$
$Sort(\vec{x}) = Unary(Count(\vec{x}))$

Vì vậy, sức mạnh của về cơ bản là sắp xếp một chuỗi nhị phân (ví dụ: 100011 đến 000111). Điều này đúng hơn khi các số trong mảng bị chặn. Câu hỏi của tôi là nếu những con số không bị ràng buộc?$\mathsf{TC^0}$

Có phải vấn đề sắp xếp một mảng các số không bị chặn vẫn còn trong không? Nó đã hoàn thành cho một lớp lớn hơn như N C 1 chưa?$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{NC^1}$

Giả sử bạn có số x 1 , Bắn , x n chiều rộng m ≥ log n . Không mất tính tổng quát, tất cả các số khác nhau (thêm một thêm log n bậc thấp bit). Hai số có thể được so sánh trong AC ⁰ , vì vậy trong AC ^0, chúng ta có thể tính toán, với mỗi x i , một vectơ nhị phân v , được xác định bởi v j = 1 nếu x j ≥ x i . Trong TC ⁰ chúng ta có thể sắp xếp v để$n$$x_1,\ldots,x_n$$m \geq \log n$$\log n$$x_i$$v$$v_j = 1$$x_j \geq x_i$$v$ , và sau đó xác định vị trí (trong AC⁰) vị trí k sao cho w k = 1 trong khi w k - 1 = 0 (trong đó w 0 = 0 , w n + 1 = 1 ). Cho các giá trị k này cho mỗi i ∈ [ n ] , chúng ta có thể tính toán mảng đã sắp xếp trong AC⁰. Tổng cộng, chúng tôi nhận được mộtmạchTC⁰.$w$$k$$w_k = 1$$w_{k-1} = 0$$w_0=0$$w_{n+1}=1$$k$$i \in [n]$