Lần bắn lượng tử một lần

Trong bài báo Lượng tử ngẫu nhiên Lượt nhanh hơn theo cấp số nhân ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Kempe đưa ra một khái niệm về thời gian đánh cho bước đi lượng tử (trong hypercube) không phổ biến trong tài liệu đi bộ lượng tử. Nó được định nghĩa như sau:

One-Shot Quantum Hitting Thời gian: Một đi bộ thời gian rời rạc lượng tử có $(T,p)$ one-shot $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ -hitting thời gian nếu $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ nơi $|\Psi_0\rangle$ là tình trạng ban đầu, là trạng thái mục tiêu, và là xác suất hit.$|\Psi^f\rangle$$p>0$

Thông thường bạn muốn biết tối thiểu sao cho . Không thể (sửa tôi nếu tôi sai) để xác định khái niệm thời gian đánh trung bình vì bạn sẽ cần thực hiện các phép đo trong khi đi bộ, và điều đó sẽ thu gọn nó thành một cuộc đi bộ cổ điển. Đó là lý do tại sao chúng ta có khái niệm one-shot. Trong cùng một tác phẩm, có một ứng dụng định tuyến lượng tử (xem phần 5 ).$T$$p>0$

Để biết rằng bước đi đã đến đỉnh đích, bạn chỉ cần thực hiện phép đo tại nút đó. Ví dụ: trong hypercube -dimensional có nút nếu bạn bắt đầu tại nút và có nút đích , bài báo cho thấy với xác suất lỗi giới hạn, tức là khi trở nên rất lớn. Vì vậy, để phát hiện ra rằng bước đi đã đến bạn thực hiện phép đo sau các bước . Đây là một sự tăng tốc theo cấp số nhân.2 n | Ψ 0 ⟩ = | 00 ... 00 ⟩ | Ψ f ⟩ = | 11 ... 11 ⟩ T = O ( n ) p → 1 n | 11 ... 11 ⟩ Ohm ( n $n$$2^n$$|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$$|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$$T=O(n)$$p\to 1$$n$$|11\dots11\rangle$$\Omega(n)$

Câu hỏi:

1. Để sử dụng khái niệm thời gian nhấn này để tìm kiếm, bạn cần biết ít nhất khoảng cách của đỉnh mục tiêu so với điểm gốc, bởi vì đó là cách bạn biết khi nào nên áp dụng phép đo của mình. Giả sử bạn có đồ thị $G$ và đặt làm đỉnh ban đầu $v_0$ và muốn đạt $v^f$ . Giả cũng là $T=O(dist(v_0,v^f))$ và $p\geq 1/2$ . À, $T$là hiển nhiên bởi vì bạn cần ít nhất là nhiều bước để đạt được nó. Liệu nó có ý nghĩa gì khi sử dụng thời gian nhấn này để tìm kiếm? Nếu bạn biết nút đó không có ý nghĩa gì trong việc tìm kiếm, nhưng có một phần thông tin như "khoảng cách từ đỉnh bắt đầu" nhưng không biết chính xác mục tiêu ở đâu, thì khái niệm đánh thời gian này có mang lại điều gì thú vị không ) thuật toán tìm kiếm?

2. Liệu các ứng dụng để định tuyến lượng tử có ý nghĩa gì? Trong bài báo có nói rằng nó có thể được sử dụng cho các gói định tuyến, nhưng dường như với tôi rằng bạn chỉ có thể gửi 1 bit, ví dụ như nó có đến đích hay không? Bạn thực sự có thể gửi một trạng thái lượng tử trong khuôn khổ này? Trong bài báo vấn đề này không được giải quyết.

3. Đây có thể là một câu hỏi ngớ ngẩn để hỏi, nhưng ở đây nó đi. Bạn có thể sử dụng khái niệm đánh thời gian này để xây dựng "Giao thoa kế Mach-Zender tổng quát" không?

Tôi nhận thức được các khái niệm khác về thời gian đánh cho các bước đi lượng tử (như của Szegedy hay Ambainis ). Tôi đặc biệt quan tâm đến thời gian đánh cụ thể này.

Cập nhật (24/9/2010): Nhờ Joe Fitzsimons, câu hỏi 2 và 3 đã được trả lời hoàn toàn. Mặc dù câu hỏi số 1 vẫn còn. Đầu tiên, tôi sẽ trình bày lại câu hỏi 2 bằng các thuật ngữ cụ thể hơn bây giờ khi tôi đọc xong bài báo mà Joe giới thiệu cho tôi và một vài người nữa (ví dụ, xem arXiv: 0802.1224 ), và sau đó tôi sẽ đưa ra một ví dụ cụ thể về những gì tôi có trong đầu cho câu hỏi 1.

2 '. Nếu bạn đang gửi một thông điệp cụ thể (như một chuỗi các bit cổ điển), bạn có thể sử dụng một đơn vị phức tạp hơn sẽ sao chép thông tin này trong các bước của bước đi. Để gửi trạng thái lượng tử, bạn cần một cái gì đó nhiều hơn. Kênh chuỗi spin sử dụng một chuỗi các qubit tuyến tính với khớp nối cố định. Bạn có thể đặt trạng thái (trạng thái thuần túy, tôi không biết nếu nó hoạt động cho các trạng thái hỗn hợp) mà bạn muốn truyền ở một đầu và nó chuyển sang đầu kia với độ chính xác cao theo kết quả bằng số. Tôi vẫn phải suy nghĩ nhiều hơn nhưng tôi có hai ý tưởng: i) đặt một chuỗi trên mỗi liên kết của biểu đồ hoặc ii) thực hiện bước đi, tìm trạng thái mục tiêu, sau đó tạo kênh giữa trạng thái ban đầu và mục tiêu rồi gửi nhà nước. Có bất kỳ cách tiếp cận nào trong số các phương pháp này? Nó hoạt động với các trạng thái hỗn hợp?

1 '. Hãy xem xét một đi bộ trên một mạng lưới 2 chiều tập trung ở nguồn gốc với nút với mỗi bên với chiều dài $n$ . Đặt tình trạng ban đầu tạiv0=(0,0)và trạng thái mục tiêu ởvf=($\sqrt{n}$$v_0=(0,0)$nơimột=0,...,$v^f=(\sqrt{n}-1,a)$. Bởi vì bước đi là đối xứng, chúng ta có cùng thời gian đánh và xác suất trúng giữ cho bất kỳ mục tiêu nào ở đâu đó trên đường viền của lưới như hình dưới đây.$a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

Do đó thông tin chúng tôi có là . Chúng ta có thể sử dụng điều này để biết khi nào thực hiện phép đo. Thời gian đánh một lần có thể được sử dụng để tìm kiếm lưới này không? Ở đây bạn cần thông tin đó. Một vấn đề mở trong việc tìm kiếm một mạng lưới là chúng ta biết rằngΩ($dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$là một giới hạn thấp hơn cho tìm kiếm, và dùng cho lưới tốt nhất trên ràng buộc làO($\Omega(\sqrt{n})$. Hoặc là chúng tôi không thể tìm thấy một thuật toán tốt hơn, hoặc các kỹ thuật để chứng minh các giới hạn thấp hơn khi bạn sử dụng chúng trên các lưới đang đưa ra một giới hạn thấp hơn. Bạn có thể chỉ ra rằng cách duy nhất để đi bên dưới$O(\sqrt{n\log n})$ đang có "một mẩu thông tin" như câu hỏi trong câu hỏi? Điều này có nghĩa là một cách để chứng minh một giới hạn thấp hơn cho lưới điện. Liệu no co y nghia gi?$\sqrt{n\log n}$

Tôi không quá quen thuộc với bài viết này, nhưng tôi sẽ cố gắng đưa ra một câu trả lời sơ bộ cho từng câu hỏi của bạn sau khi đọc lướt qua.

1. Thuật toán của Grover thực sự có thể được xem với khái niệm thời gian này. Bạn cần quyết định khi nào nên đo hệ thống, và mặc dù T là hằng số cho tất cả các kết quả, nhưng vẫn cần phải tính toán. Dưới đây T chắc chắn không phải là (mà trong trường hợp này là 1), nhưng thay vì O ( $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$, do đó, giả định của bạn rằngT=O(dist(v0,vf))không hợp lệ ở đây.$O(\sqrt{n})$$T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
2. Tôi giả sử tác giả đang lấy toàn bộ gói để thực hiện bước đi ngẫu nhiên. Rõ ràng điều này đòi hỏi một sự thống nhất có phần phức tạp hơn, nhưng tôi không thực sự thấy một vấn đề. Cách khác, Burgarth và Bose có một sơ đồ rất đẹp để mã hóa thông tin trên các biểu đồ giống hệt nhau, điều này cũng sẽ hoạt động nếu bạn chỉ cần thay thế chuỗi 1d của chúng bằng mạng lựa chọn ( quant-ph / 0406112 ).
3. Chà, bạn không hoàn toàn cần khái niệm về thời gian này. Hypercubes có chuyển trạng thái hoàn hảo (ví dụ: quant-ph / 0309131 và quant-ph / 0411020 ), vì vậy bạn có thể xem vận chuyển trên hypercube như một giao thoa kế với giao thoa kế Mach-Zender tương ứng với trường hợp 2d.

CẬP NHẬT: (Để trả lời câu hỏi cập nhật liên quan đến việc đi bộ ngẫu nhiên trên lưới hoặc mạng khác)

$v_t$$v^f$

Liên quan đến câu hỏi 1, việc biết khoảng cách giữa đỉnh mục tiêu chưa biết và một số đỉnh gốc đã biết trên hypercube có thể giúp quá trình tìm kiếm. Tuy nhiên, giá trị của khoảng cách tự xác định mức độ hữu ích của thông tin này.

Các thuật toán đi bộ lượng tử điển hình thường là các biến thể / xấp xỉ của tìm kiếm Grover: chúng liên quan đến một phép quay gần đúng của vectơ trạng thái trong không gian con 2 chiều của tổng không gian Hilbert.

Bạn có thể sử dụng các thuật toán này để chuẩn bị một cách hiệu quả sự chồng chất xấp xỉ của tất cả các đỉnh ở một khoảng cách nhất định so với điểm gốc. Sau đó, bạn có thể tìm kiếm đỉnh mục tiêu của mình bên trong chồng chất này bằng cách sử dụng tìm kiếm lượng tử hoặc cổ điển (Monte Carlo): Đối với tìm kiếm cổ điển, chỉ cần chuẩn bị chồng chất và đo nó trong cơ sở đỉnh và lặp lại cho đến khi bạn tìm thấy mục tiêu. Đối với tìm kiếm lượng tử, quy trình chuẩn bị chồng chất (và nghịch đảo của nó) trở thành một chương trình con thay thế biến đổi Hadamard trong phép lặp Grover.

$n$$d$$\binom{n}{d}$$\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$$\approx n/2$