Kích thước VC của đa thức (trong một biến) độ d

Các hàm tuyến tính trong một biến có kích thước VC = 3 và tôi nhớ đọc ở đâu đó rằng VC cho đa thức bậc $d$ là $(d^2 + 3d + 2)/2$ .

Tôi đang tìm kiếm những ý tưởng có thể chứng minh cho tuyên bố trên (và có lẽ cũng khái quát cho nhiều biến số, mặc dù điều đó dường như quá nhiều để hy vọng).

Bất kỳ phương pháp nào, thậm chí là không đầy đủ, sẽ được đánh giá cao.

Để xác định đúng vấn đề: Cho một mặt phẳng (tọa độ 2D, x và y) kích thước của tập tối đa có thể bị phá vỡ nếu bạn có thể sử dụng các hàm phân loại là đa thức ( $y=p(x)$ ) độ ở chế độ $d$ và bạn có thể tự do chọn phía nào của đường cong mà bạn muốn gắn nhãn dương.

Ví dụ: nhãn (x, y) là iff dương $y > x^2 +5x +9$ .

cg.comp-geom vc-dimension

— Karan
nguồn

Tôi không làm việc trong khu vực, nhưng tôi muốn hiểu câu hỏi. Tên miền và phạm vi của các chức năng này là gì? Bạn có thể giải thích một chút về cách các hàm tuyến tính trong một biến có chiều thứ 3 không?

— Robin Kothari

Câu lệnh được chia sẻ lại tốt hơn là: không gian phạm vi được xác định bởi các phạm vi có thể được biểu thị bằng bất đẳng thức

trong đó f (x) là hàm tuyến tính có kích thước VC 3 (điều này là do không gian phạm vi này là không gian phạm vi bằng một nửa khoảng trắng trong 2D)

f (x) \leq 0

$f(x) \le 0$

— Suresh Venkat

@Suresh: Cảm ơn đã làm rõ. Từ câu trả lời của bạn, tôi đoán câu hỏi chung được hỏi là kích thước VC của các không gian phạm vi được xác định bởi các hàm độ-d (thay vì tuyến tính)

trong đó

, thay vì

f (x) \leq 0

$f(x) \leq 0$

x \in R^{n}

$x \in \mathbb{R}^n$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— Robin Kothari

Câu trả lời:

Phương pháp cơ bản hoạt động như thế này: Giả sử bất đẳng thức của bạn có dạng

\sum_{i \leq d} a_{i} x^{i} \leq 0

$\sum_{i \le d} a_i x^i \le 0$

Sau đó, bạn xây dựng một bản đồ nâng lên một không gian có kích thước cao hơn, trong đó mỗi đơn vị tương ứng với một chiều. Bây giờ đa thức có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các kích thước mới và bạn có thể gọi kết quả thông thường cho một nửa khoảng trắng trong không gian kết quả.

Tôi không chắc chắn bạn nhận được ràng buộc của mình từ đâu: biểu thức chính xác cho thứ nguyên VC của đa thức trong d biến của độ D là , là số đơn thức bậc nhất của D hình thành từ các biến d. $\binom{d + D}{d}$

— Suresh Venkat
nguồn

Đúng. Nhưng OP không cho biết có bao nhiêu biến.

— Suresh Venkat

Bất đẳng thức của tôi liên quan đến y và một đa thức trong x. Tôi đã thực hiện một số thay đổi trong vấn đề, hy vọng sẽ xác định vấn đề chính xác hơn.

— Karan

Và acc. với vấn đề tôi đã nêu, tứ giác trong x sẽ phá vỡ ít nhất 4 điểm (mà tôi có thể thấy) và acc. theo công thức tôi đã đưa ra, nó sẽ phá vỡ 6 điểm! (không chắc chắn nếu nó giữ mặc dù)

— Karan

Công thức là một giới hạn trên.

— Suresh Venkat

Trong vấn đề được sửa đổi của bạn, câu trả lời là D + 1

— Suresh Venkat

Sau đây là dựa trên cuốn sách Sai lệch hình học của Jiri Matousek .

Xác định một không gian phạm vi trong tham số hóa bởi như sau. Đặt là một đa thức bậc trong các biến . Với mỗi , tập được định nghĩa là . Ví dụ: các vòng tròn được xác định là . $\mathbb{R}^d$ $a_1, \ldots, a_p$ $f$ $D$ $d + p$ $a \in \mathbb{R}^p$ $S(a)$ $S(a) = \{x \in \mathbb{R}^d: f(x, a) \leq 0\}$ $(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 - 1 \leq 0$

Chúng ta có thể có một ràng buộc về số lượng tinh tế hơn kích thước VC trong mô hình này. Xác định là số lượng tập hợp riêng biệt tối đa được tạo bởi trên bất kỳ tập hợp điểm nào, tức là trong đó max được lấy trên tập của điểm. Đây là hàm phân tách nguyên hàm của không gian phạm vi . Lưu ý rằng kích thước VC của không gian phạm vi là tối đa sao cho . Ngoài ra, nếu kích thước VC của không gian phạm vi là $\pi(m)$ $\{S(a)\}$ $m$

π (m) = max_{X \subseteq R^{d}} | {S (a) \cap X} |,

$\pi(m) = \max_{X \subseteq \mathbb{R}^d}{|\{S(a) \cap X\}|},$

X

$X$

m

$m$

{S (a)}

$\{S(a)\}$

m

$m$

π (m) = 2^{m}

$\pi(m) = 2^m$

k

$k$ , sau đó hàm shatter của nó được giới hạn bởi .

O (m^{k})

$O(m^k)$

Cho đa thức , là một mẫu dấu nếu có tồn tại một số ví dụ với tất cả , dấu của là . Một kết quả từ hình học đại số là số lượng tối đa của các mẫu dấu hiệu riêng biệt của đa thức độ trong các biến được giới hạn bởi . $m$ $f_1(a), \ldots, f_m(a)$ $\sigma = (\sigma_1, \ldots, \sigma_m) \in \{-, +\}^m$ $a$ $i$ $f_i(a)$ $\sigma_i$ $m$ $D$ $p$ $2^{O(p)}(Dm/p)^p$

Hãy sử dụng định lý này. Xác định . Chúng ta hiểu rằngchính xác là số mẫu dấu hiệu riêng biệt của . Vì vậy, đặc biệt, nếu một không gian phạm vi được cung cấp bởi một họ các đa thức bậc không đổi trong các tham số , hàm shatter của nó được giới hạn bởi . $f_i(a) = f(x^i, a)$ $|\{S(a) \cap X\}|$ $f_1, \ldots, f_m$ $p$ $O(m^p)$

— Sasho Nikolov
nguồn