Trực giác đằng sau hệ thống bằng chứng

9

Tôi đang cố gắng đứng dưới bài báo về Hệ thống chứng minh và logic tối ưu cho PTIME . Có một khái niệm gọi là hệ thống bằng chứng trong bài báo và tôi không có ý định:

... Chúng tôi xác định vấn đề với các tập con của trong . $\Sigma = \{0,1\}$ $Q$ $\Sigma^*$

Tôi nghĩ rằng sự phức tạp là chúng ta mã hóa một cấu trúc nhất định trong (ví dụ: đồ thị vô hướng) và các tập hợp con của các cấu trúc này là các vấn đề (ví dụ: đồ thị phẳng). $\Sigma^*$

Một hệ thống chứng minh cho một vấn đề là một chức năng surjective tính toán trong thời gian đa thức. $Q \subset \Sigma^*$ $P:\Sigma^* \to Q$

Bây giờ một người có khả năng nói là tập hợp tất cả các mô hình có thể có trong một cấu trúc nhất định (ví dụ: tất cả các đồ thị vô hướng). Nhưng điều đó không có ý nghĩa gì vì tại sao một đồ thị vô hướng phải được ánh xạ trên một tập hợp con? Nó có thể được mã hóa máy turing nhưng điều này cũng không có nghĩa gì cả ... $\Sigma^*$

Có ý kiến gì không?

lo.logic descriptive-complexity proof-complexity

— Joachim
nguồn

8

Hãy nghĩ về mã hóa một số loại đối tượng và là tập hợp của tất cả các đối tượng thỏa mãn một số thuộc tính. Hãy suy nghĩ về là một hàm mà chấp nhận (mã hóa) một cặp nơi là một đối tượng và bị cáo buộc là "bằng chứng" của . Chức năng là một "kiểm tra bằng chứng": nó xác minh rằng thực sự đại diện cho bằng chứng hợp lệ mà . Nếu vậy, nó sẽ trả về , nếu không nó sẽ trả về một yếu tố mặc định của . $\Sigma^{*}$ $Q$ $P$ $(x, p)$ $x$ $p$ $x \in Q$ $P$ $p$ $x \in Q$ $x$ $Q$

Ví dụ, giả sử mã hóa đồ thị và đặt là tập hợp (mã hóa) của đồ thị Hamilton. Một thể là thế này: giải mã đầu vào như nơi là một đồ thị và là danh sách các đỉnh của ; xác minh rằng là chu trình Hamilton trong ; nếu vậy thì trả về nếu không trả về đồ thị trên một điểm. $\Sigma^{*}$ $Q$ $P$ $(G, \ell)$ $G$ $\ell$ $G$ $\ell$ $G$ $G$

Bạn đã xem xét trường hợp đồ thị phẳng. Để có được một phù hợp, chúng ta cần một khái niệm về bằng chứng có thể kiểm tra nhiều lần về độ phẳng. $P$

Nói chung, đầu vào không cần mã hóa một cặp . Điều quan trọng là có thể trích xuất hai mẩu thông tin từ đầu vào của nó: các đối tượng trong câu hỏi và những bằng chứng cáo buộc rằng đối tượng thuộc về . Ví dụ, chúng ta hãy lấy làm tập hợp tất cả các câu có thể chứng minh được trong một số lý thuyết bậc nhất. Bây giờ giải mã đầu vào của nó như một bằng chứng chính thức. Nếu mã hóa là không hợp lệ, nó sẽ trả $P$ $(x, p)$ $P$ $Q$ $Q$ $P$ $\top$ . Nếu mã hóa đại diện cho một bằng chứng hợp lệ, nó sẽ trả về câu lệnh đã được chứng minh bằng bằng chứng (có khả năng là gốc của cây chứng minh, hoặc công thức cuối cùng trong chuỗi các câu lệnh, tùy thuộc vào cách bạn chính thức hóa bằng chứng).

— Andrej Bauer
nguồn

5

Bạn nên nghĩ đến đầu vào của hệ thống chứng minh là nội dung của một bằng chứng của một phần tử . Nếu văn bản có giá trị mà , nếu là một số cố định . Chúng tôi muốn là polytime vì điều đó có nghĩa là bằng chứng rất dễ xác minh. $P$ $\pi$ $q \in Q$ $P(\pi) = q$ $P(\pi)$ $q_0 \in Q$ $P$

Ví dụ, giả sử là tập hợp các tautology mệnh đề và là bất kỳ hệ chứng minh kiểu Hilbert nào, bao gồm một tập hợp các dòng , mỗi dòng là một tiên đề hoặc theo sau các dòng trước thông qua quy tắc đạo hàm (thường là Modus Ngựa vằn). Nếu bằng chứng là hợp lệ, sẽ xuất dòng cuối cùng trong bằng chứng. Nếu không, sản lượng một số cố định lặp lại không cần như . $Q$ $P$ $P$ $p \lor \lnot p$

Quay lại câu hỏi đầu tiên của bạn, là một mã hóa của tất cả các cấu trúc của một loại nhất định đáp ứng một số thuộc tính. Một ví dụ là tautology. Một ví dụ khác là tập hợp tất cả các đồ thị không có 3 màu, có một hệ thống chứng minh được gọi là phép tính Hajós. $Q$

— Yuval Filmus
nguồn