Tại sao CNF được sử dụng cho SAT mà không phải là DNF?

Tôi hoàn toàn không hiểu tại sao hầu hết tất cả những người giải SAT đều sử dụng CNF thay vì DNF. Dường như với tôi, việc giải SAT dễ dàng hơn khi sử dụng DNF. Rốt cuộc, bạn chỉ cần quét qua bộ cấy ghép và kiểm tra xem một trong số chúng có chứa cả biến và phủ định của nó không. Đối với CNF, không có thủ tục đơn giản như thế này.

Việc giảm sách giáo khoa từ SAT xuống 3SAT, do Karp, biến đổi một công thức boolean tùy ý thành một công thức boolean tương đương với CNF có kích thước đa thức , sao cho là thỏa đáng nếu và chỉ khi là thỏa đáng. (Nói đúng ra, hai công thức này không tương đương nhau, vì có các biến bổ sung, nhưng giá trị của không thực sự phụ thuộc vào các biến mới đó.)Φ ' Φ Φ ' Φ ' Φ $\Phi$$\Phi'$ $\Phi$$\Phi'$$\Phi'$$\Phi'$

Không có sự giảm tương tự từ các công thức boolean tùy ý thành các công thức DNF được biết đến; tất cả các phép biến đổi đã biết làm tăng kích thước của công thức theo cấp số nhân. Hơn nữa, trừ khi P = NP, không thể giảm như vậy!

Hầu hết những điều quan trọng đã được nói nhưng tôi muốn nhấn mạnh một vài điểm.

1. sự thỏa mãn của công thức DNF là P
2. sự thỏa mãn của công thức CNF là NP
3. kiểm tra nếu một công thức CNF là một tautology là P
4. kiểm tra nếu một công thức DNF là một tautology là coNP
5. phủ nhận DNF mang lại CNF và ngược lại

Vì vậy, người giải SAT sử dụng CNF vì họ nhắm mục tiêu thỏa đáng và bất kỳ công thức nào cũng có thể được dịch sang CNF trong khi vẫn giữ được sự thỏa mãn trong thời gian tuyến tính.

Những người giải SAT không "sử dụng" CNF - họ (thường) được CNF làm đầu vào và cố gắng hết sức để giải quyết CNF mà họ được đưa ra. Như câu hỏi của bạn chỉ ra, đại diện là tất cả mọi thứ - sẽ dễ dàng hơn nhiều để biết liệu một DNF có thỏa đáng hơn một CNF có cùng kích thước hay không.

Điều này dẫn đến câu hỏi tại sao người giải SAT không thể biến CNF đã cho của họ thành DNF và giải quyết DNF, và cố gắng đây là một bài tập tốt để tìm hiểu các vấn đề về đại diện.

7 ^ngày tháng 9 năm 2013: Câu trả lời Hơn nữa gia tăng, kiểm tra dưới cùng của trang

---

$c_1 \lor ... \lor c_m$$c_i = l_{i,1} \land ... \land l_{i,k}$$c_i$$l$$\lnot l$$2^{n-k}$các giải pháp của công thức. Vì vậy, toàn bộ DNF chỉ là một bảng liệt kê các giải pháp. Một công thức có thể có nhiều giải pháp theo cấp số nhân, vì vậy công thức DNF tương ứng có thể có nhiều mệnh đề theo cấp số nhân. Hãy thử chuyển đổi công thức CNF này:

$l_1 \lor l_2 \lor l_3 \lor l_4$

$l_5 \lor l_6 \lor l_7 \lor l_8$

$l_9 \lor l_{10} \lor l_{11} \lor l_{12}$

$l_{13} \lor l_{14} \lor l_{15} \lor l_{16}$

$l_{17} \lor l_{18} \lor l_{19} \lor l_{20}$

theo công thức DNF tương ứng của nó: bạn sẽ nhận được quá nhiều mệnh đề. Trong một từ: CNF là nhỏ gọn, trong khi DNF thì không; CNF là ẩn, trong khi DNF là rõ ràng.

Vấn đề sau đây là NP-đầy đủ: được cung cấp một thể hiện DNF, có sự phân công các biến làm sai lệch tất cả các mệnh đề không?

Tôi chỉ nhận ra một điều nữa, hy vọng xứng đáng có một câu trả lời riêng. Giả định của câu hỏi không hoàn toàn đúng. Một sơ đồ quyết định nhị phân (BDD) có thể được coi là một đại diện nhỏ gọn / tinh chỉnh của DNF. Đã có một số người giải SAT sử dụng BDD nhưng tôi tin rằng họ không còn xuất hiện nữa.

Có một bài báo hay của Darwiche và Hầu tước nghiên cứu các tính chất khác nhau của các biểu diễn khác nhau của các hàm Boolean.

Câu trả lời thêm này có nghĩa là một phản hồi để bình luận chia cho câu trả lời trước của tôi.

Như splititherzero nói, chắc chắn đúng là CNF và DNF là hai mặt của cùng một đồng tiền.

$\mathbf{P}$$\mathbf{NP-complete}$

$\mathbf{P}$$\mathbf{NP-complete}$

Ở một thái cực, chúng ta có Mâu thuẫn, tức là các công thức không thỏa mãn. Ở thái cực đối lập, chúng ta có Tautology, tức là các công thức không thể xác định được. Ở giữa, chúng tôi có các công thức vừa thỏa đáng vừa giả mạo.

$n$$k$$2^{n-k}$

$n$$k$$2^{n-k}$

$k = 0$$2^n$$\mathbf{NP-complete}$

$k = 0$$2^n$$\mathbf{NP-complete}$

$2^n$

$2^n$

Dưới ánh sáng này, nó trở nên rõ ràng hơn tại sao Sự hài lòng của CNF và Độ sai lệch DNF là tương đương về độ cứng tính toán. Bởi vì chúng thực sự là cùng một vấn đề, vì nhiệm vụ cơ bản hoàn toàn giống nhau: để cho biết liệu sự kết hợp của một số bộ có bằng không gian của tất cả các khả năng hay không . Nhiệm vụ như vậy dẫn chúng ta đến một lĩnh vực đếm rộng hơn, theo ý kiến ​​khiêm tốn của tôi, một trong những con đường được khám phá một cách nhiệt thành để hy vọng đạt được một số tiến bộ không đáng kể về những vấn đề này (tôi nghi ngờ rằng nghiên cứu sâu hơn về người giải quyết dựa trên độ phân giải cuối cùng có thể mang lại những tiến bộ lý thuyết đột phá, trong khi nó chắc chắn tiếp tục mang lại những tiến bộ thực tế đáng ngạc nhiên).

Khó khăn của nhiệm vụ như vậy là các bộ đó chồng chéo lên nhau một cách điên cuồng, theo kiểu bao gồm - loại trừ.

Sự hiện diện của sự chồng chéo như vậy chính xác là nơi độ cứng của việc đếm cư trú. Hơn nữa, việc chúng ta để các tập hợp đó trùng nhau là lý do cho phép chúng ta có các công thức nhỏ gọn mà không gian giải pháp của nó vẫn lớn theo cấp số nhân.

Tôi đã quyết định biến tất cả các câu trả lời trong chuỗi này (đặc biệt là câu trả lời của Giorgio Camerani) thành một bảng đẹp để có thể nhìn thấy tính hai mặt trong nháy mắt:

$$\begin{array} {r|c|c} &\text{DNF} & \text{CNF} \\\hline \text{tautology/unfalsifiability} & \textsf{coNP-complete} & \textsf{P} \; \tiny\text{(each clause has a pair of P and ¬P)} \\\hline \text{satisfiability} & \textsf{P} \; \tiny\text{(sat. assignments are explicit)} & \textsf{NP-complete}\\\hline \text{falsifiability} & \textsf{NP-complete} & \textsf{P} \; \tiny\text{(fals. assignments are explicit)} \\\hline \text{unsatisfiability} & \textsf{P} \; \tiny\text{(each clause has a pair of P and ¬P)} & \textsf{coNP-complete} \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining equivalence}} & (*) & (*) \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining satisfiability}} & (**) & \textsf{FP} \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining falsiability}} & \textsf{FP} & (**) \end{array}$$

$(*)$

$(**)$$(*)$$\mathrm{FP}^{\mathrm{NP}[1]}$

Câu trả lời ngắn nhất cho câu hỏi: hiển thị mức độ thỏa đáng (giải SAT) thông qua DNF chỉ có thể được thực hiện trong thời gian theo cấp số nhân theo bảng trên.