Độ phức tạp của việc nhận dạng đồ thị chuyển tiếp đỉnh

Tôi không am hiểu về lĩnh vực lý thuyết phức tạp liên quan đến các nhóm vì vậy tôi xin lỗi nếu đây là một kết quả nổi tiếng.

Câu 1. Cho là đồ thị vô hướng đơn giản của . Độ phức tạp tính toán (tính theo ) của việc xác định xem có phải là đỉnh không?n n $G$$n$$n$$G$

Hãy nhớ lại rằng đồ thị có tính bắc cầu nếu hoạt động liên tục trênA u t ( G ) V ( G ) $G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

Tôi không chắc liệu định nghĩa trên có cho phép thuật toán thời gian đa thức hay không vì có thể thứ tự của là theo cấp số nhân.$\mathrm{Aut}(G)$

Tuy nhiên, đồ thị chuyển tiếp đỉnh có một số thuộc tính cấu trúc khác có thể được khai thác để có thể xác định chúng một cách hiệu quả vì vậy tôi không chắc tình trạng của câu hỏi trên là gì.

Một lớp con thú vị khác của đồ thị chuyển tiếp đỉnh có cấu trúc thậm chí nhiều hơn là lớp đồ thị Cayley . Vì vậy, đó là tự nhiên để đặt ra câu hỏi liên quan sau đây

Câu 2. Độ phức tạp tính toán của việc xác định nếu đồ thị là đồ thị Cayley là gì?$G$

Tôi không có câu trả lời hoàn chỉnh, nhưng tôi nghĩ cả hai vấn đề đều mở.

Bài viết của Jajcay, Malnič, Marušič [3] có liên quan đến câu hỏi đầu tiên của bạn. Họ cung cấp một số công cụ để kiểm tra độ xuyên của đỉnh. Họ nói trong phần giới thiệu rằng:

Đối với một đồ thị hữu hạn nhất định , rất khó để xác định liệu có phải là đỉnh chuyển tiếp hay không, và câu trả lời cuối cùng thường chỉ xuất hiện sau khi một phần đáng kể của nhóm tự động hóa hoàn toàn của đã được xác định.gamma $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

Lưu ý rằng kiểm tra độ xuyên của đỉnh có thể được thực hiện bằng cách kiểm tra biểu đồ đẳng cấu lần. Tạo hai bản sao và của biểu đồ của bạn, với các neo đặc biệt (như các đường dẫn có độ dài ) tại và . Có một sự đẳng cấu giữa và khi và chỉ khi đồ thị ban đầu có ánh xạ tự động hóa thành . Do đó, bạn có thể kiểm tra độ nhạy của đỉnh bằng cách sửa một đỉnh và kiểm tra xem có tự động hóa ánh xạ đến tất cả các đỉnh khác không.G G ′ n + 1 u ∈ V ( G ) v ∈ V ( G ′ ) G G ′ u v x $n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$$x$$x$

Cũng lưu ý rằng nếu kiểm tra độ xuyên của đỉnh có thể được thực hiện trong thời gian đa thức, thì kiểm tra đẳng cấu đối với các đồ thị chuyển tiếp đỉnh. Điều này là do hai đồ thị chuyển tiếp đỉnh là đẳng cấu khi và chỉ khi liên kết rời rạc của chúng là chuyển tiếp đỉnh. Tôi tin rằng sự phức tạp của đẳng cấu đồ thị đối với đồ thị chuyển tiếp đỉnh không được biết đến.

Đối với câu hỏi thứ 2, tôi tìm thấy một phần kết quả. Một đồ thị circulant là một đồ thị Cayley vào một nhóm cyclic. Evdokimov và Ponomarenko [2] cho thấy việc công nhận đồ thị tuần hoàn có thể được thực hiện trong thời gian đa thức. Ngoài ra, chương sách của Alspach [1, Chương 6: Đồ thị của Cayley, Phần 6.2: Công nhận] sẽ rất thú vị đối với bạn, mặc dù nó nói rằng:

Chúng ta sẽ bỏ qua vấn đề tính toán để nhận ra liệu một biểu đồ tùy ý có phải là biểu đồ Cayley hay không. Thay vào đó, chúng tôi luôn cho rằng các đồ thị của Cayley đã được mô tả theo các nhóm mà chúng được xây dựng cùng với các bộ kết nối. Đối với hầu hết các vấn đề, đây không phải là một nhược điểm.

1. Beineke, Wilson, Cameron. Các chủ đề trong Lý thuyết đồ thị đại số . Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2004.
2. Evdokimov, Ponomarenko. Đồ thị tuần hoàn: Nhận biết và kiểm tra đẳng cấu trong thời gian đa thức. Petersburg Toán. J. 15 (2004) 813-835. doi: 10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, Marušič. Về số lần đi khép kín trong đồ thị chuyển tiếp đỉnh. Toán rời rạc. 307 (2007) 484-493. doi: 10.1016 / j.disc.2005.09.039