Có một vấn đề tự nhiên nào về bản chất đó là NP-Complete?

Bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể được coi là một chuỗi bit, do đó, việc nhập số tự nhiên cũng giống như nhập chuỗi 0-1, do đó, các vấn đề hoàn chỉnh NP với đầu vào tự nhiên rõ ràng tồn tại. Nhưng có bất kỳ vấn đề tự nhiên nào, tức là những vấn đề không sử dụng một số mã hóa và giải thích đặc biệt cho các chữ số? Ví dụ: "Là na nguyên tố?" là một vấn đề tự nhiên như vậy, nhưng vấn đề này nằm ở P. Hoặc "Ai thắng trò chơi Nim với hàng đống kích thước 3, 5, n, n?" là một vấn đề khác mà tôi cho là tự nhiên, nhưng chúng tôi cũng biết điều này ở P. Tôi cũng quan tâm đến các lớp phức tạp khác thay vì NP.

Cập nhật: Như Emil Jeřábek đã chỉ ra, đã cho $a,b,c\in \mathbb N,$ để xác định xem có giải pháp nào đối với tự nhiên là NP-đầy đủ hay không. Đây chính xác là những gì tôi có trong đầu như một lẽ tự nhiên, ngoại trừ ở đây đầu vào là ba số thay vì chỉ một.$ax^2+by-c=0$

Cập nhật 2: Và sau hơn bốn năm chờ đợi, Dan Brumleve đã đưa ra một giải pháp "tốt hơn" - lưu ý rằng nó vẫn chưa hoàn thành vì giảm ngẫu nhiên.

Vấn đề này có một biến thể với một đầu vào số nguyên duy nhất:

Liệu có một ước số nghiêm ngặt ở giữa hai yếu tố chính lớn nhất của nó không?$n$

Ý tưởng là sử dụng cùng một mức giảm ngẫu nhiên từ tổng tập hợp con được mô tả trong câu trả lời hàng đầu cho câu hỏi được liên kết, nhưng với phạm vi mục tiêu được mã hóa thành hai số nguyên tố lớn nhất thay vì được đưa ra một cách riêng biệt. Định nghĩa này có vẻ ngoài tự nhiên mặc dù nó chỉ là một chức năng ghép nối được ngụy trang.

Đây là một biến thể khác của cùng một vấn đề, với sự giảm tương tự từ vấn đề phân vùng:

Là tích của hai số nguyên khác nhau ít hơn n $n$ ?$n^{\frac{1}{4}}$

Trong cả hai lần giảm, chúng tôi đang "ngụy trang" một bộ số nguyên bằng cách tìm các số nguyên tố gần đó và lấy sản phẩm của chúng. Nếu có thể làm điều đó trong thời gian đa thức thì những vấn đề này đã hoàn thành NP.

Tôi nghĩ rằng nó thật sáng sủa khi xem xét các ví dụ này cùng với định lý của Mahaney : nếu và chúng ta có thể tìm thấy các số nguyên tố gần đó, thì các bộ này không thưa thớt. Thật hài lòng khi nhận được một tuyên bố hoàn toàn hợp lý từ lý thuyết phức tạp (mặc dù nó chỉ mang tính phỏng đoán và có khả năng dễ dàng chứng minh theo một cách khác).$P \ne NP$

Dựa trên cuộc thảo luận, tôi sẽ đăng lại đây là câu trả lời.

Như được chứng minh bởi Manders và Adeld , vấn đề sau là NP-Complete: được cho các số tự nhiên , xác định xem có tồn tại một số tự nhiên x ≤ c mà x 2 ≡ $a,b,c$$x\le c$ .$x^2\equiv a\pmod b$

Vấn đề có thể nói tương đương như sau: cho , xác định xem bậc hai x 2 + b y - c = 0 có một giải pháp x , y ∈ N .$b,c\in\mathbb N$$x^2+by-c=0$$x,y\in\mathbb N$

(The original paper states the problem with $ax^2+by-c$, but it is not hard to see that one can reduce it to the case $a=1$.)

Here's a $\text{NEXP}$-complete problem with a single natural number as the input.

The problem is about tiling an $n \times n$ grid with a fixed set of tiles and constraints on adjacent tiles and tiles on the boundary. All of this is part of the specification of the problem; it is not part of the input. The input is only the number $n$. The problem is $\text{NEXP}$-complete for some choice of tiling rules as shown in

D. Gottesman, S. Irani, "The Quantum and Classical Complexity of Translationally Invariant Tiling and Hamiltonian Problems," Proc. 50th Annual Symp. on Foundations of Computer Science, 95-104 (2009), DOI: 10.1109/FOCS.2009.22. Also arXiv:0905.2419.

The problem is defined on page 5 of the arxiv version.

Additionally, they also define a similar problem that is $\text{QMA}_\text{EXP}$-complete, which is the bounded-error quantum analog of $\text{NEXP}$. (The classical bounded error analog of $\text{NEXP}$ is $\text{MA}_\text{EXP}$.)

I think that using one of the time-bounded variants of Kolmogorov complexity you can build a problem that uses only the binary representation of a number and (I think) is unlikely to be in $\mathsf{P}$; informally it is a decidable version of the problem "Is $n$ compressible?":

Problem: Given $n$, does a Turing machine $M$ exist such that $|M| < l$ and $M$ on a blank tape outputs $n$ in less than $l^2$ steps, where $l = \lceil \log{n} \rceil$ is the length of the binary representation of $n$

$\mathsf{NP}$, because given $n$ and $M$, just simulate $M$ for $l^2$ steps and if it halts compare the result with $n$.

Our FOCS'17 paper on the Short Presburger Arithmetic is an example of a "natural" problem which is NP-c, and uses a constant number $C$ of integers in the input, say $C< 220$. It is different from Manders-Adleman in that the constraints are all inequalities. See Gil Kalai's blog post for some background.

How about the PARTITION problem?