Là nó có thể quyết định

18

Tôi biết rằng không thể quyết định -equivalence cho phép tính lambda untyped. Trích dẫn Barendregt, HP Giải tích Lambda: Cú pháp và ngữ nghĩa của nó. Bắc Hà Lan, Amsterdam (1984). : $\beta$

Nếu A và B tách rời nhau, các tập hợp lambda không đóng được đóng theo đẳng thức, thì A và B không thể tách rời đệ quy. Theo sau, nếu A là một tập hợp các điều khoản lambda không cần thiết được đóng dưới đẳng thức, thì A không được đệ quy. Vì vậy, chúng tôi không thể quyết định vấn đề "M = x?" đối với bất kỳ M. cụ thể nào. Ngoài ra, theo sau Lambda không có mô hình đệ quy.

Nếu chúng ta có một hệ thống bình thường, chẳng hạn như hệ thống F, sau đó chúng ta có thể quyết định -equivalence "từ bên ngoài" bằng cách giảm hai nhiệm kỳ nhất định và so sánh nếu hình thức bình thường của họ đều giống nhau hay không. Tuy nhiên, chúng ta có thể làm điều đó "từ bên trong" không? Có một tổ hợp System-F sao cho hai tổ hợp và ta có nếu và có cùng dạng bình thường và thì không? Hoặc điều này có thể được thực hiện ít nhất cho một số s? Để xây dựng một tổ hợp $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ mà là đúng khi và chỉ khi ? Nếu không, tại sao? $E_M N$ $N\equiv_\beta M$

— Petr Pudlák
nguồn

19

Không, nó không thể. Xét hai cư dân sau đây thuộc loại . $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

Đây là những khác biệt hình thức -normal, nhưng không thể được phân biệt bởi một lambda hạn, vì là một -expansion của , và -expansion bảo tồn quan sát tương đương trong một giải tích lambda gõ tinh khiết. $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

Cody hỏi chuyện gì sẽ xảy ra nếu chúng ta sửa đổi bằng tương đương. Câu trả lời vẫn là tiêu cực, vì tham số. Xét hai thuật ngữ sau ở loại $\eta$ : $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} M & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [\forall α . α \to α] (Λ β . λ y : β . y) [α] x \\ N & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [α] x \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

Họ là những khác biệt -normal, dạng -long, nhưng observationally tương đương. Trong thực tế, tất cả các chức năng của loại này là tương đương, vì $\beta$ $\eta$ là mã hóa của loại đơn vị, và do đó tất cả các chức năng của loại $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ phải tương đương kéo dài. $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— Neel Krishnaswami
nguồn

2

Ok, cùng một câu hỏi với

-equivalence :)

β, η

$\beta,\eta$

— cody

11

Một câu trả lời có thể một cách hoàn hảo đúng Neel của: Giả sử rằng có là một combinator , cũng đánh máy trong hệ thống F như vậy mà các điều kiện nêu trên tổ chức. Loại là: $E$ $E$

E : \forall α . α \to α \to b o o l

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

Nó chỉ ra rằng có một định lý miễn phí thể hiện rằng một thuật ngữ như vậy nhất thiết là hằng số :

\forall T, t, u, t^{'}, u^{'} : T, E T t u = E T t^{'} u^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

$E$

— cody
nguồn