Hậu quả của gì?

46

Chúng tôi biết rằng và rằng , trong đó . Chúng ta cũng biết rằng bởi vì cái sau có vấn đề hoàn toàn trong việc giảm nhiều không gian logarit trong khi cái trước thì không (do định lý phân cấp không gian). Để hiểu mối quan hệ giữa và , trước tiên có thể giúp hiểu mối quan hệ giữa và . $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ $\mathsf{polyL}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}^2$ $\mathsf{P}$

Hậu quả của gì? $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$

Điều gì về cho hoặc yếu hơn cho ? $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ $k>2$ $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\epsilon > 0$

— argentepepper
nguồn

4

@OrMeir Gần đây tôi đã thêm một lời giải thích về thực tế này vào bài viết Wikipedia cho polyL .

— argentpepper

13

Tôi nghĩ rằng đây là một hậu quả rõ ràng và đặc biệt không có gì đáng ngạc nhiên: sẽ ám chỉ rằng , bởi vì nếu không nó sẽ mâu thuẫn với hệ thống phân cấp không gian .

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

— Sajin Koroth

12

Câu hỏi gọn gàng! Tôi nghĩ rằng nó chắc chắn có giá trị tiền thưởng. Btw, đây là một quan sát đơn giản, nếu , thì . Do đó, chúng tôi có một thuật toán hiệu quả hơn cho CNF-SAT và chúng tôi bác bỏ ETH (giả thuyết thời gian theo hàm mũ).

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$

— Michael Wehar

3

Theo nhận xét của @ MichaelWehar, hàm ý xuất phát từ một đối số đệm tiêu chuẩn mở rộng cho các giả thuyết yếu hơn: nếu nằm trong , thì mọi vấn đề có thể được giải quyết trong không gian tuyến tính (bao gồm cả vấn đề thỏa mãn), có thể được giải quyết được giải quyết trong thời gian .

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$

P

$P$

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$

— argentpepper

3

@SajinKoroth: Tôi nghĩ rằng nhận xét của bạn, cũng như theo dõi của Michael Wehar (và theo dõi của argentpepper) nên là câu trả lời ...

— Joshua Grochow

26

Sau đây là một hậu quả rõ ràng: sẽ ám chỉ và do đó . $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

Theo định lý phân cấp không gian, . Nếu thì . $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— Sajin Koroth
nguồn

Chú thích nhỏ: Nếu , sau đó chúng ta có hoặc .

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Michael Wehar

27

$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ sẽ bác bỏ Giả thuyết Thời gian theo cấp số nhân .

Nếu thì bằng đối số đệm . Điều này có nghĩa là vấn đề thỏa mãn có thể được quyết định trong , bác bỏ Giả thuyết Thời gian theo hàm mũ. $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

Tổng quát hơn, cho ngụ ý . $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

(Câu trả lời này được mở rộng từ một nhận xét của @MichaelWehar.)

— argentepepper
nguồn

Cảm ơn bạn đã mở rộng trên các bình luận! Tôi rât cảm kich. :)

— Michael Wehar

1

Ngoài ra, giả thuyết cuối cùng cũng ngụ ý rằng nằm trong DSPACE ( ) DTIME ( ).

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Michael Wehar

8

Sự đẳng cấu nhóm (với các nhóm được đưa ra dưới dạng bảng nhân) sẽ ở P. Lipton, Snyder và Zalcstein cho thấy vấn đề này nằm ở , nhưng vẫn mở cho dù nó ở P. Giới hạn trên tốt nhất hiện tại là -time, và vì nó giảm xuống sự đẳng cấu của đồ thị, đứng như một trở ngại đáng kể để đưa iso đồ thị vào P. $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

Làm cho tôi tự hỏi những vấn đề tự nhiên và quan trọng khác mà điều này sẽ áp dụng cho: đó là, trong nhưng với thời gian đa thức được biết đến nhiều nhất của họ. $\mathsf{L}^2$

— Joshua Grochow
nguồn

1

Cụ thể hơn, vấn đề chung hơn của đẳng cấu quasigroup là trong , là một lớp con của .

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— argentpepper

1

Ngoài ra, bài toán xếp hạng nhóm (được cho là nhóm G hữu hạn dưới dạng bảng nhân và số nguyên k , G có tập hợp tạo cardinality k không?) Cũng có thuộc tính này. Thuật toán chỉ là một tìm kiếm trên các tập con của G của cardinality k nhưng sử dụng hai sự kiện quan trọng: (1) mỗi nhóm hữu hạn có một tập hợp kích thước logarit và (2) thành viên nhóm phụ nằm trong , bằng .

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— argentpepper

1

Yêu cầu: Nếu với một số , thì và . $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

Giả sử với một số . $L^k \subseteq P$ $k > 2$

Từ "Giới hạn bộ nhớ để nhận dạng ngôn ngữ không ngữ cảnh và ngữ cảnh nhạy cảm ", chúng tôi biết rằng . Theo định lý phân cấp không gian, chúng ta biết rằng . $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

Do đó, chúng tôi nhận . $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

Ngoài ra, theo Định lý của Savitch, chúng ta biết rằng . Do đó, chúng tôi nhận . $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— Michael Wehar
nguồn