Hiểu logic điểm cố định ít nhất

Để hiểu rõ hơn về một bài báo, tôi đang cố gắng hiểu sơ lược về logic điểm ít cố định nhất. Có một vài điểm mà tôi bị mắc kẹt.

Nếu là đồ thị và$G = (V,E)$

là một nhà điều hành trên mối quan hệ nhị phân . Tôi không hiểu tại sao cố định ít nhất điểm P * của P là việc đóng cửa bắc cầu của E . Ví dụ được lấy từ Lý thuyết mô hình hữu hạn và các ứng dụng của nó (trang 60).$P$$P^*$$P$$E$

Khi mở rộng logic thứ nhất với toán tử con trỏ ít cố định nhất, tôi không hiểu tại sao ký hiệu quan hệ cần phải dương trong công thức. Tích cực có nghĩa là mọi sự xuất hiện của S i trong công thức đều nằm trong một số chẵn các ký hiệu phủ định.$S_i$$S_i$

Có ai có ý tưởng gì là tốt để đọc để hiểu trực quan về logic con trỏ ít cố định nhất và cú pháp và ngữ nghĩa của nó không?

Nếu bạn đang gặp rắc rối với khái niệm điểm ít cố định nhất, tôi khuyên bạn nên dành một chút thời gian để có được một nền tảng trong lý thuyết trật tự tổng quát hơn.

Davey và Priestley, Giới thiệu về Lưới và Trật tự là một phần giới thiệu tốt.

Để xem tại sao đóng cửa bắc cầu là điểm cố định ít nhất, hãy tưởng tượng xây dựng bao đóng từ một tập hợp trống, áp dụng công thức logic một bước một lần. Điểm cố định ít nhất sẽ đến khi bạn không thể thêm bất kỳ cạnh mới nào bằng công thức.

Yêu cầu rằng công thức phải tích cực đảm bảo rằng quy trình là đơn điệu, tức là nó phát triển ở mỗi bước. Nếu bạn có một biểu mẫu con âm tính, bạn có thể gặp trường hợp ở một số bước, tập hợp các cạnh sẽ giảm và điều này có thể dẫn đến dao động không kết thúc lên xuống, thay vì hội tụ LFP.

Hãy xem xét đại số boolean được hình thành từ tập quyền hạn của tập hữu hạn , được sắp xếp theo cách đưa vào tập hợp. Bây giờ, hãy xem xét toán tử P được xác định bởi$S$$P$

Rõ ràng là một toán tử không tích cực.$P$

1. Chứng minh rằng không có điểm cố định mà P ( μ P ) = μ P . Kết quả là, bạn có thể kết luận rằng μ X $\mu P$$P(\mu P) = \mu P$ không thể được xác định rõ.$\mu X.\;P(X)$

2. Chứng minh định lý Knaster-Tarksi cho chính bạn. Nghĩa là, nếu bạn có một mạng tinh thể hoàn chỉnh và hàm đơn điệu f : L → L , thì tập hợp các điểm cố định của f tạo thành một mạng hoàn chỉnh. (Kết quả là, f có điểm cố định tối thiểu và lớn nhất.) Bằng chứng này rất ngắn, nhưng nó hơi khó hiểu khi lần đầu tiên bạn nhìn thấy nó, và tính đơn điệu của f rất quan trọng đối với lập luận.$L$$f : L \to L$$f$$f$$f$

3. Chứng minh cho bản thân rằng bất kỳ toán tử nào được xác định bởi một biểu thức có biến do chỉ xảy ra tích cực là đơn điệu. Vì vậy, sự xuất hiện tích cực là một điều kiện cú pháp đủ để thực thi tính đơn điệu.$X$

Tôi thấy rằng không có sự thay thế nào cho việc thực hiện những bằng chứng này cho chính mình để thực sự nội tâm hóa trực giác.

đây là một bài viết rất cũ vì vậy bạn có thể đã gặp câu trả lời như mong muốn. Vì tôi đã học FO (LFP) trong vài tháng qua. Tôi có một số hiểu biết về các câu trả lời bạn yêu cầu.

$[\sigma$$\phi(\vec{x},X)$$|\vec{x}|=ar(X)$$f_\phi$$\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$$\sigma$$\mathbb{A}$$\mathcal{P}(Z)$$f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$. Nếu toán tử này là đơn điệu thì chúng ta có thể dễ dàng nắm bắt điểm cố định trong cả cấu trúc hữu hạn và vô hạn theo định lý điểm cố định của knaster tarski được đề cập trong các câu trả lời trên. Nhưng, vấn đề là kiểm tra xem công thức được viết ra khỏi biểu mẫu như trên có mã hóa toán tử đơn điệu hay không là không thể giải quyết được vì vậy chúng ta cần có được điều tốt nhất tiếp theo. Tích cực trong biến tự do thứ hai đảm bảo yêu cầu đơn điệu được đáp ứng, đó là một cảm ứng cấu trúc tiêu chuẩn để chứng minh hiện tượng này. Câu hỏi là, nó có đủ không?

Về điều đó, tôi chưa có câu trả lời chắc chắn, vì tôi vẫn đang đọc. Tôi có thể chỉ vào giấy tờ trên mặt trận này. Ít nhất là một trong những ý tưởng giải thích tôi đã đề cập ở đây, là từ bài báo, Monotone vs Tích cực - Ajtai, Gurevich. Nó cũng đề cập thêm một bài báo khác Phần mở rộng điểm cố định của logic thứ tự đầu tiên của Gurevich và Shelah nói rằng toán tử điểm cố định khi áp dụng cho công thức dương không làm mất sức mạnh biểu cảm khi so sánh với ứng dụng được thực hiện trên các công thức đơn điệu tùy ý.