Tính hấp dẫn của các bài toán NP-đầy đủ như một nguyên tắc vật lý?

Tôi luôn bị thu hút bởi việc thiếu bằng chứng số từ toán học thực nghiệm cho hoặc chống lại câu hỏi P vs NP. Mặc dù Giả thuyết Riemann có một số bằng chứng hỗ trợ từ xác minh bằng số, tôi không biết về bằng chứng tương tự cho câu hỏi P vs NP.

Ngoài ra, tôi không nhận thức được bất kỳ hậu quả thế giới vật lý trực tiếp nào về sự tồn tại của các vấn đề không thể giải quyết được (hoặc sự tồn tại của các chức năng không thể tính toán được). Protein gấp là vấn đề NP-đầy đủ nhưng nó dường như đang diễn ra rất hiệu quả trong các hệ thống sinh học. Scott Aaronson đề xuất sử dụng Giả định độ cứng NP làm nguyên tắc vật lý. Ông tuyên bố giả định một cách không chính thức là " các vấn đề NP-đầy đủ có thể gây ra trong thế giới vật chất ".

Giả sử Giả định Độ cứng NP, Tại sao việc thiết kế một thí nghiệm khoa học quyết định liệu vũ trụ của chúng ta có tôn trọng Giả định Độ cứng NP hay không?

Ngoài ra, có bất kỳ bằng chứng số đã biết nào từ toán học thực nghiệm cho hoặc chống lại không?$P\ne NP$

EDIT: Đây là một bài thuyết trình hay của Scott Aaronson có tiêu đề Tính hấp dẫn tính toán như một định luật vật lý

Tôi không nghĩ rằng thực tế rằng là một tuyên bố tiệm cận là một "công cụ giải quyết" tự động. Người ta có thể đưa ra những phỏng đoán cụ thể phù hợp với kiến ​​thức của chúng tôi nhưng mạnh hơn P so với NP, chẳng hạn như "Phải mất ít nhất 2 n / 10 bước để tìm một phép gán thỏa mãn cho công thức 10SAT biến ngẫu nhiên n" (với "ngẫu nhiên" là ví dụ: mô hình trồng cây của Achlioptas Coja-Oghlan , đây chỉ là một ví dụ - tôi không biết đâu là con số cụ thể hợp lý).$P\neq NP$$2^{n/10}$

Phỏng đoán như vậy có thể dẫn đến một dự đoán đáng tin cậy rằng bất kỳ hệ thống tự nhiên nào cố gắng giải quyết điều này sẽ thất bại (ví dụ, bị mắc kẹt trong một cực tiểu địa phương), một cái gì đó bạn có thể xác minh bằng các thí nghiệm. Thật vậy, tôi không phải là một chuyên gia về vấn đề này nhưng theo hiểu biết của tôi, như Joe Fitzsimons đã đề cập, những dự đoán như vậy đã được xác nhận với tính toán Adiabatic. (Scott Aaronson cũng có một số thí nghiệm giải trí với bong bóng xà phòng.)

Tất nhiên bạn cũng có thể thấy một số "bằng chứng thực nghiệm" cho trong thực tế là mọi người đã cố gắng giải quyết các vấn đề tối ưu hóa, mã hóa tiền điện tử, v.v. và cho đến nay vẫn chưa thành công ...$P \neq NP$

Thế giới thực là một vật thể có kích thước không đổi, vì vậy không có cách nào để loại bỏ một thủ tục thế giới thực theo thời gian đa thức để giải quyết các vấn đề hoàn thành NP có một hằng số lớn ẩn trong ký hiệu O lớn.

Dù sao, ngoài điểm này, giả định là một tuyên bố có dạng "không có quy trình trong thế giới thực nào ..." Làm thế nào để người ta thiết kế một thí nghiệm để bác bỏ tuyên bố đó? Nếu giả định giống như "Nếu chúng ta làm X trong thế giới thực, Y xảy ra", thì điều này có thể được bác bỏ bằng cách thực hiện X. Tuyên bố mà chúng ta muốn khẳng định sự không tồn tại của một cái gì đó, vì vậy tôi không thể thấy một thử nghiệm quyết định nó Nó có thể được hiển thị như là một hệ quả vật lý của các định luật vật lý, nhưng điều này thậm chí còn khó hơn P so với NP, bởi vì một máy Turing thực hiện theo các định luật vật lý. Vì chúng tôi đã không thành công ngay cả khi cho thấy rằng các TM không thể giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian đa thức, nên dường như hoàn toàn vô vọng khi cho thấy rằng không có quá trình vật lý nào có thể giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian đa thức.

Thật vậy, phiên bản vật lý của P không bằng NP, cụ thể là không có hệ thống vật lý tự nhiên nào có thể giải quyết vấn đề NP hoàn chỉnh là rất thú vị. Có một vài lo ngại

1) Chương trình có vẻ thực tế "trực giao" đối với cả vật lý thực nghiệm và lý thuyết. Vì vậy, nó không thực sự cung cấp (cho đến nay) những hiểu biết hữu ích trong vật lý.

Có một số lập luận hay về cách người ta có thể suy luận từ phiên bản vật lý này của phỏng đoán một số hiểu biết về vật lý, nhưng những lập luận này khá "mềm" và có sơ hở. (Và các đối số như vậy có thể có vấn đề, vì chúng dựa trên các phỏng đoán toán học rất khó như NP nonot bằng P và NP không được đưa vào BQP mà chúng ta không hiểu.)

(Một nhận xét tương tự áp dụng cho "luận án giáo hội".)

2) Mặc dù NP vật lý không bằng P là một phỏng đoán rộng hơn NP toán học không bằng P, nhưng chúng ta cũng có thể coi nó là hạn chế hơn vì các thuật toán xảy ra trong tự nhiên (và thậm chí các thuật toán do con người tạo ra) dường như rất lớp hạn chế của tất cả các thuật toán có thể về mặt lý thuyết. Sẽ rất thú vị khi hiểu chính thức các hạn chế đó, nhưng trong mọi trường hợp, bất kỳ "bằng chứng" ngoại lệ nào như được đề xuất trong câu hỏi sẽ chỉ áp dụng cho các lớp bị hạn chế này.

3) Trong mô hình khoa học, độ phức tạp tính toán đại diện cho một loại vấn đề thứ hai trong đó trước tiên chúng ta muốn mô hình hóa một hiện tượng tự nhiên và xem những gì có thể dự đoán dựa trên mô hình (đặt lý thuyết phức tạp tính toán sang một bên). Đưa ra quá nhiều trọng lượng cho các vấn đề phức tạp tính toán trong giai đoạn mô hình hóa dường như không có kết quả. Trong nhiều trường hợp, mô hình có thể tính toán được để bắt đầu nhưng nó vẫn có thể khả thi đối với các vấn đề xảy ra tự nhiên hoặc hữu ích để hiểu hiện tượng.

4) Tôi đồng ý với Boaz rằng vấn đề tiệm cận không cần thiết là "công cụ giải quyết". Tuy nhiên, đây là một vấn đề khá nghiêm trọng khi nói đến sự liên quan của độ phức tạp tính toán đối với mô hình thực tế.

Nếu bạn cho phép tôi khái quát một chút xíu ... Hãy mở rộng câu hỏi và hỏi về các giả định độ cứng lý thuyết phức tạp khác và hậu quả của chúng đối với các thí nghiệm khoa học. (Tôi sẽ tập trung vào vật lý.) Gần đây có một chương trình khá thành công để cố gắng hiểu tập hợp các mối tương quan cho phép giữa hai thiết bị đo, trong khi tách biệt về mặt không gian, thực hiện phép đo trên hệ thống vật lý (có thể không tương quan cục bộ) ( 1). Theo thiết lập này và tương tự, người ta có thể sử dụng các giả định về độ cứng của độ phức tạp trong giao tiếp để rút ra các giới hạn chặt chẽ tái tạo các mối tương quan cho phép đối với cơ học lượng tử.

Để cho bạn một hương vị, hãy để tôi mô tả một kết quả sớm hơn về vấn đề này. Một Popescu-Rohrlich hộp (hoặc PR hộp) là một thiết bị ảo mà tái tạo mối tương quan giữa các thiết bị đo lường đó là phù hợp với các nguyên tắc mà không có thông tin có thể di chuyển nhanh hơn ánh sáng (được gọi là nguyên tắc không có tín hiệu ).

S. Popescu & D. Rohrlich, Lượng tử phi lượng tử như một tiên đề, Được tìm thấy. Vật lý. 24, 379 Quảng385 (1994).

Chúng ta có thể thấy đây là một ví dụ về sự phức tạp trong giao tiếp có một số ảnh hưởng. Ý tưởng rằng hai nhà quan sát phải giao tiếp mặc nhiên thừa nhận một số ràng buộc mà một nhà vật lý sẽ gọi là không có tín hiệu. Xoay quanh ý tưởng này, loại tương quan nào có thể có giữa hai thiết bị đo bị hạn chế do không có tín hiệu? Đây là những gì Popescu & Rohrlich nghiên cứu. Họ đã chỉ ra rằng tập hợp các mối tương quan cho phép này lớn hơn nhiều so với những tương quan cho phép của cơ học lượng tử, lần lượt lớn hơn nhiều so với những gì được cho phép bởi vật lý cổ điển.

Sau đó, câu hỏi đưa ra chính nó, điều gì làm cho tập hợp các tương quan lượng tử trở thành tập hợp tương quan "đúng", và không phải là những điều được cho phép bởi không có tín hiệu?

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta hãy đưa ra giả định xương cốt rằng tồn tại các chức năng mà độ phức tạp trong giao tiếp là không tầm thường. Đây không tầm thường chỉ có nghĩa là để cùng nhau tính toán một hàm f boolean (x, y), phải mất nhiều hơn chỉ là một đơn bit (2). Thật đáng ngạc nhiên, ngay cả giả định lý thuyết phức tạp rất yếu này cũng đủ để hạn chế không gian của các mối tương quan cho phép.

G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, AA Méthot, A. Tapp và F. Unger, Hạn chế về tính phi dân tộc trong bất kỳ thế giới nào trong đó Sự phức tạp trong giao tiếp không phải là tầm thường, Vật lý. Mục sư Lett. 96, 250401 (2006).

Lưu ý rằng một kết quả yếu hơn đã được chứng minh trong Ph.D. luận án của Wim van Dam. Những gì Brassard et al. chứng minh rằng việc có quyền truy cập vào các hộp PR, ngay cả những hộp bị lỗi và chỉ tạo ra mối tương quan chính xác đôi khi, cho phép người ta hoàn toàn tầm thường hóa sự phức tạp trong giao tiếp. Trong thế giới này, mọi hàm Boolean hai biến có thể được tính toán chung bằng cách chỉ truyền một bit. Điều này có vẻ khá vô lý, vì vậy hãy nhìn vào nó ngược lại. Chúng ta có thể coi sự không tầm thường của sự phức tạp trong giao tiếp là một tiên đề và điều này cho phép chúng ta rút ra thực tế rằng chúng ta không quan sát thấy một số tương quan mạnh hơn lượng tử trong các thí nghiệm của mình.

Chương trình này sử dụng độ phức tạp trong giao tiếp đã thành công một cách đáng ngạc nhiên, có lẽ nhiều hơn so với chương trình tương ứng cho độ phức tạp tính toán. Các giấy tờ ở trên thực sự chỉ là phần nổi của tảng băng chìm. Một nơi tốt để bắt đầu đọc thêm là đánh giá này:

H. Buhrman, R. Cleve, S. Massar và R. de Wolf, Nonlocality và truyền thông phức tạp, Rev. Mod. Vật lý. 82, 665 đỉnh698 (2010).

hoặc một tìm kiếm tài liệu về phía trước từ hai bài báo khác mà tôi đã trích dẫn.

Điều này cũng đặt ra câu hỏi thú vị về lý do tại sao cài đặt truyền thông có vẻ dễ phân tích hơn nhiều so với cài đặt tính toán. Có lẽ đó có thể là chủ đề của một câu hỏi được đăng trên cstheory.

(1) Lấy ví dụ các thí nghiệm đo một cái gì đó gọi là bất đẳng thức CHSH (một loại bất đẳng thức Bell ), trong đó hệ thống vật lý bao gồm hai photon vướng víu và các phép đo là các phép đo phân cực trên các photon riêng lẻ ở hai vị trí xa nhau.

(2) Bit đơn này là cần thiết bất cứ khi nào f (x, y) thực sự phụ thuộc vào cả x và y, vì việc gửi bit 0 sẽ vi phạm không có tín hiệu.

$P \neq NP$

$NP \subseteq P/poly$

Bây giờ, việc tìm một mạch tối thiểu cho SAT lên đến độ dài 10 hiện đang rất khó khăn. Tuy nhiên, một số ý tưởng trong lý thuyết phức tạp hình học cho phép bạn có được kết quả tương tự với tìm kiếm tính toán hiệu quả hơn (tôi nghĩ chỉ theo cấp số nhân thay vì theo cấp số nhân). Một trong những phỏng đoán của Mulmuley là trên thực tế việc tìm kiếm này có thể được thực hiện trong thời gian đa thức, nhưng chúng ta còn lâu mới chứng minh được bất cứ điều gì gần với điều đó.

Các định nghĩa về "thời gian đa thức" và "thời gian theo cấp số nhân" mô tả hành vi giới hạn của thời gian chạy khi kích thước đầu vào tăng lên vô cùng. Mặt khác, bất kỳ thử nghiệm vật lý nào nhất thiết chỉ xem xét các đầu vào có kích thước giới hạn. Do đó, hoàn toàn không có cách nào để xác định bằng thực nghiệm liệu một thuật toán đã cho chạy trong thời gian đa thức, thời gian theo cấp số nhân hay thứ gì khác.

Hay nói cách khác: những gì Robin nói.

Hãy để tôi bắt đầu bằng cách nói rằng tôi hoàn toàn đồng ý với Robin. Liên quan đến việc gấp protein, có một vấn đề nhỏ. Như với tất cả các hệ thống như vậy, việc gấp protein có thể bị mắc kẹt trong cực tiểu địa phương, đó là điều mà bạn dường như đang bỏ bê. Vấn đề chung hơn chỉ đơn giản là tìm trạng thái cơ bản của một số người Hamilton. Trên thực tế, ngay cả khi chúng tôi chỉ xem xét các spin (tức là qubit), vấn đề này đã hoàn tất đối với QMA.

Tuy nhiên, người Hamilton tự nhiên mềm hơn một chút so với một số người nhân tạo được sử dụng để chứng minh tính hoàn chỉnh của QMA (có xu hướng không phản ánh các tương tác tự nhiên), nhưng ngay cả khi chúng ta hạn chế tương tác hai cơ thể tự nhiên trên các hệ thống đơn giản, kết quả vẫn là NP vấn đề đầy đủ. Thật vậy, điều này tạo thành cơ sở của một cách tiếp cận đã cố gắng giải quyết các vấn đề NP bằng cách sử dụng điện toán lượng tử đáng tin cậy. Thật không may, có vẻ như phương pháp này sẽ không hiệu quả đối với các vấn đề hoàn thành NP, do một vấn đề khá kỹ thuật liên quan đến cấu trúc mức năng lượng. Tuy nhiên, điều này dẫn đến một hậu quả thú vị là có các vấn đề tồn tại trong NP mà bản chất không thể giải quyết được một cách hiệu quả (theo ý tôi là các quá trình vật lý). Nó có nghĩa là tồn tại các hệ thống không thể làm mát hiệu quả. Điều đó có nghĩa là,

Việc nghiên cứu các tình huống trong thế giới thực từ góc độ tính toán khá khó khăn do "bước nhảy" rời rạc liên tục. Trong khi tất cả các sự kiện trong thế giới thực (được cho là) ​​được chạy trong thời gian liên tục, các mô hình chúng ta thường sử dụng được thực hiện trong thời gian riêng biệt. Do đó, rất khó để xác định một bước nhỏ hay lớn, kích thước của vấn đề, v.v.

Tôi đã viết một bản tóm tắt về bài viết của Aaronson về chủ đề này, tuy nhiên nó không phải bằng tiếng Anh. Xem giấy gốc .

Cá nhân, tôi đã nghe nói về một ví dụ khác về một vấn đề trong thế giới thực được mô phỏng thành tính toán. Bài viết nói về các mô hình hệ thống điều khiển dựa trên đàn chim. Nó hóa ra mặc dù phải mất một thời gian ngắn trong đời thực đối với các loài chim, nó không thể khắc phục được ("một tháp 2 giây") khi được phân tích như một vấn đề tính toán. Xem bài viết của Bernard Chazelle để biết chi tiết.

[Chỉnh sửa: Làm rõ phần về giấy Chazelle. Cảm ơn đã cung cấp thông tin chính xác.]

Tôi vẫn bình chọn cho vấn đề n-body như một ví dụ về độ hấp dẫn NP. Các quý ông tham khảo các giải pháp số quên rằng giải pháp số là một mô hình đệ quy và không phải là một giải pháp về nguyên tắc giống như một giải pháp phân tích. Giải pháp phân tích của Qui Dong Wang là khó hiểu. Các protein có thể gấp lại và các hành tinh có thể quay quanh các hệ thống có nhiều hơn hai cơ thể là các hệ thống vật lý, không phải là các giải pháp thuật toán thuộc loại mà vấn đề P-NP giải quyết.

Tôi cũng phải đánh giá cao những khó khăn của chazisop với các giải pháp trong thời gian liên tục. Nếu thời gian hoặc không gian là liên tục, không gian trạng thái tiềm năng trở nên không thể đếm được (aleph one).

$n$