Tự nhiên để giảm màu k

Rõ ràng có sự giảm từ CLIQUE sang k-Color vì cả hai đều là NP-Complete. Trên thực tế, tôi có thể xây dựng một cái bằng cách kết hợp giảm từ CLIQUE xuống 3-SAT với mức giảm từ 3-SAT xuống k-Color. Điều tôi băn khoăn là liệu có sự giảm thiểu trực tiếp hợp lý giữa những vấn đề này không. Nói, một sự giảm bớt mà tôi có thể giải thích cho một người bạn khá ngắn gọn mà không cần mô tả một ngôn ngữ trung gian như SAT.

Như một ví dụ về những gì tôi đang tìm kiếm, đây là một sự giảm trực tiếp theo hướng ngược lại: Cho G với và một số (số lượng màu), tạo một biểu đồ G 'với các đỉnh (một trên mỗi màu trên một đỉnh). Các đỉnh , tương ứng với các đỉnh và màu tương ứng liền kề nhau khi và chỉ khi và ( hoặc ). Một chữ trong chỉ có một đỉnh trên một đỉnh trong và các màu tương ứng là một màu thích hợp của$n$$k$$kn$$v'$$u'$$v, u$$c, d$$v \neq u$$c \neq d$$vu \not \in G$$n$$G'$$G$$k$$G$. Tương tự, bất kỳ màu thích hợp nào của đều có một cụm tương ứng trong .$k$$G$$G'$

Chỉnh sửa : Để thêm một số động lực ngắn gọn, 21 vấn đề ban đầu của Karp đã được chứng minh NP-Complete bằng một cây giảm trong đó CLIQUE và Chromatic Number tạo thành gốc rễ của các cây con chính. Có một số cách giảm tự nhiên giữa các vấn đề trong cây con CLIITE và cây con Số Chromatic, nhưng nhiều trong số chúng cũng khó tìm như cái tôi đang hỏi. Tôi đang cố gắng đi sâu vào xem cấu trúc của cây này có hiển thị một số cấu trúc cơ bản trong các vấn đề khác hay không nếu đó hoàn toàn là hậu quả của việc giảm được tìm thấy trước, vì có ít động lực hơn để tìm kiếm sự giảm giữa hai vấn đề khi chúng được biết là trong cùng một lớp phức tạp. Chắc chắn thứ tự có một số ảnh hưởng, và các bộ phận của cây có thể được sắp xếp lại, nhưng nó có thể được sắp xếp lại một cách tùy tiện?

Chỉnh sửa 2 : Tôi tiếp tục tìm kiếm mức giảm trực tiếp, nhưng đây là bản phác thảo về mức giảm gần nhất mà tôi đã nhận được (nó phải là mức giảm hợp lệ, nhưng có CIRCUIT SAT như một trung gian rõ ràng; soạn hai phần giảm như đã đề cập trong đoạn đầu tiên).

Cho , chúng ta biết rằng có thể là tô màu với các đỉnh tất cả được tô màu True iff có -clique. Chúng tôi đặt tên cho các đỉnh ban đầu của và sau đó thêm vào các đỉnh bổ sung: với , . Bất biến chính sẽ là có thể được tô màu True khi và chỉ khi trong số các đỉnh có ít nhất đỉnh có màu True. Vì vậy, mỗi có thể đúng. Sau đó,G , k ¯ G n - k + 1 k G k G v 1 , ... , v n ¯ G C i j 1 ≤ i ≤ n 0 ≤ j ≤ k C i j { v 1 , ... , v i } j C tôi 0 C i $G, k$$\overline{G}$$n-k+1$$k$$G$$k$$G$ $v_1, \ldots, v_n$$\overline G$$C_{ij}$$1 \le i \le n$$0 \le j \le k$$C_{ij}$$\{v_1,\ldots, v_i\}$$j$$C_{i0}$$C_{ij}$ cho lấy màu trong đó tất cả các màu không đúng được coi là sai. Có một chữ trong iff có thể được tô màu Đúng, vì vậy nếu chúng ta buộc màu đó, biểu đồ mới có thể tô màu được nếu có biểu đồ trong biểu đồ gốc.$j > 0$$C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$$k$$G$$C_{nk}$$k$

Các tiện ích AND và OR để thực thi các mối quan hệ giống như việc giảm từ CIRCUIT SAT xuống 3-COLOR, nhưng ở đây chúng tôi bao gồm một trong biểu đồ của chúng tôi, chọn các đỉnh T, F và Ground, và sau đó kết nối tất cả những người khác với mọi thứ trừ s; điều này đảm bảo rằng s và các tiện ích khác chỉ nhận được 3 màu.$K_{n-k+1}$$v_i$$C_{ij}$

Dù sao, phần của phần giảm này cảm thấy trực tiếp, nhưng việc sử dụng cổng AND / OR ít trực tiếp hơn nhiều. Câu hỏi vẫn còn, có giảm bớt thanh lịch hơn?$\overline G$

Chỉnh sửa 3 : Đã có một vài ý kiến ​​về lý do tại sao việc giảm này sẽ khó tìm thấy. CLIQUE và k-Color thực sự là những vấn đề khá khác nhau. Mặc dù không có giảm, tuy nhiên, một câu trả lời chi tiết tại sao việc giảm khó theo một hướng nhưng có thể theo hướng khác sẽ rất hữu ích và đóng góp rất nhiều cho vấn đề.

Cho một đồ thị G và một số k , chẳng hạn mà bạn muốn biết liệu G chứa một k -clique, hãy n là số đỉnh của G . Chúng ta xây dựng một đồ thị H khác , sao cho H có màu n khi và chỉ khi G có k -clique, như sau:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) Với mỗi đỉnh v trong G , tạo một n -clique của các đỉnh ( v , i ) trong H , trong đó i nằm trong khoảng từ 1 đến n .$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(2) Thêm một thêm đỉnh x đến H .$x$$H$

(3) Với mỗi ba { x , y , z } của các đỉnh trong H , trong đó y = ( v , i ) và z = ( u , j ) , kiểm tra xem một trong các điều kiện sau có giữ được không: u ≠ v và i = j , hoặc u và v là đỉnh không kề nhau trong G với max ( i , j ) ≤ $\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$. Nếu một trong hai hai điều này là sự thật, thêm một n -clique đến H . Trong bè lũ này, chọn ba đỉnh x ' , y ' , và z ' . Connect x để mỗi đỉnh trong bè lũ trừ y ' và z ' ; connect y đến mọi đỉnh trong bè lũ trừ x ' và z ' ; và kết nối z cho mọi đỉnh trong bè lũ trừ x ' và y ' .$n$$H$$x'$$y'$$z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

Các tiện ích được thêm vào trong bước (3) ngăn chặn ba của đỉnh x , y , và z từ khắp nơi được đưa ra cùng màu với nhau trong một màu hợp lệ của H . Các cụm trong G có thể được phục hồi từ một màu của H là tập hợp các đỉnh ( v , i ) có cùng lớp màu với x và có i ≤ k .$x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

?? màu sắc và phát hiện clique đã được biết là được kết hợp chặt chẽ trong nhiều thập kỷ qua lý thuyết đồ thị (thậm chí có thể trong thập niên 60?) thậm chí không thông qua SAT như một trung gian (trở thành điển hình sau bằng chứng Cook năm 1971). tin rằng có các thuật toán dựa trên các thuộc tính cơ bản sau :

Nếu G chứa một cụm kích thước k, thì ít nhất k màu sắc là cần thiết để tô màu cho cụm đó; nói cách khác, số lượng màu ít nhất là số lượng bè lũ: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

không chắc chắn về các ref chính xác nhưng [1,2] là nơi tốt để bắt đầu, một thuật toán chính xác hoặc ref ít nhất có khả năng được trích dẫn trong những cuốn sách này.

[1] Đồ cổ, tô màu, và thỏa mãn, thử thách DIMACS lần 2

[2] Dimacs vol 26: Cliques, tô màu và thỏa mãn