Động lực đằng sau định nghĩa về giả danh trong Nisan / Wigderson là gì?

Tôi đang đọc cuốn "Hardness vs Randomness" kinh điển của Nisan và Wigderson. Đặt và sửa hàm . Chúng định nghĩa một họ các hàm để trở thành giả danh trong trường hợp cho mọi mạch có kích thước chúng ta có$B=\{0,1\}$ G = { G n : B l ( n ) → B n } $l\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G = \{G_n : B^{l(n)} \to B^n\}$$n$

$(*) \ \ | P(C(x) = 1) - P(C(G(y))=1) | < 1/n$

(trong đó là các biến ngẫu nhiên thống nhất).$x \in B^{n},y \in B^{l(n)}$

Tôi hiểu rằng tôi nghĩ về và là các biến ngẫu nhiên và tôi muốn so sánh khoảng cách giữa và là các biến ngẫu nhiên. Tôi có được trực giác rằng các mạch đang được sử dụng như một loại "thử nghiệm" để xem liệu có thể được "tìm ra" hay không. Điều tôi thực sự vật lộn với lý do tại sao điều kiện là đúng. Có ai có lời khuyên nào về cách nghĩ về định nghĩa này không?y x G ( y $x$$y$$x$$G(y)$( ∗ $G$$(*)$

Có hai khía cạnh cần được đề cập.

Đầu tiên là ý tưởng chung về việc xác định PRG bằng cách có đầu ra của nó trông khác với các mạch nhỏ . Ý tưởng này quay trở lại Yao và thực sự là định nghĩa mạnh nhất có thể bạn có thể yêu cầu khi nhắm một cách rõ ràng vào giả ngẫu nhiên cho các nhà quan sát bị ràng buộc tính toán .

Khía cạnh thứ hai là sự lựa chọn các tham số trong đó chúng tôi giới hạn kích thước mạch là và chênh lệch xác suất chấp nhận là , trong đó cũng là kích thước đầu ra PRG. Sự lựa chọn này hơi khác so với loại tiền điện tử thông thường trong đó kích thước mạch là và chênh lệch xác suất được yêu cầu phải nhỏ hơn bất kỳ . Trong trường hợp của chúng tôi, các tham số cụ thể (chứ không phải1 / n n p o l y ( n ) p o l y ( n ) p o l y ( n ) l ( n ) $n$$1/n$$n$$poly(n)$$poly(n)$$poly(n)$) là cần thiết để có được kết quả chặt chẽ nhất, bao gồm, đặc biệt là mô phỏng đa thức. Mặc dù về nguyên tắc, người ta có thể có 3 tham số khác nhau, nhưng hóa ra kết quả của chúng tôi có những kết quả này hoạt động theo cùng một cách vì vậy chúng tôi đã gấp chúng thành một tham số duy nhất (ngoài kích thước đầu vào được xem như là một hàm của ).$l(n)$$n$

Tôi không có nghĩa là một chuyên gia về vấn đề này, nhưng một thành phần chính của định nghĩa về giả danh (trái ngược với nỗ lực xác định tính ngẫu nhiên) là mục tiêu của một "giả danh" là đánh lừa một mạch. Nói cách khác, động lực là nghĩ về chuỗi giả ngẫu nhiên được cung cấp cho mạch thay vì chuỗi thực sự ngẫu nhiên.

Theo nghĩa đó, thực sự không phải là bạn đang cố giả vờ rằng và "trông giống nhau". Đó là họ "trông giống nhau" với một mạch (có độ phức tạp nhất định giới hạn).G ( y $x$$G(y)$

Vì vậy, vai trò của mạch là rất quan trọng, trái ngược với việc chỉ là một "chức năng kiểm tra".

Hy vọng, tôi có thể mở rộng một chút về phản ứng của Suresh. Đầu tiên, tôi không nghĩ rằng sự nghiêm ngặt của bất bình đẳng là cần thiết trong của bạn và tôi cũng không chắc tại sao cần thiết, chứ không phải hay cái gì khác. Tuy nhiên, thực tế, tôi nghĩ 1 / n là đủ để có được một số kết quả lý thuyết thú vị.1 / n 1 / 2 $(*)$$1/n$$1/2n$

Nhưng sau đó bạn gần như chắc chắn muốn khẳng định rằng mỗi có thể tính toán được trong một khoảng thời gian nào đó, nói theo cấp số nhân. Hơn nữa, tôi nghĩ bạn sẽ phải khẳng định rằng . Bạn có thể nghĩ là chiều dài hạt giống. Do đó, là giả ngẫu nhiên nếu nó có thể tăng số bit trong một chuỗi ngẫu nhiên có độ dài mà không bị phát hiện bởi một mạch có kích thước nhỏ hơn . l ( n ) < n l ( n ) G i l ( n ) $G_i$$l(n) < n$$l(n)$$G_i$$l(n)$$n$