Động lực cho việc sử dụng Karp-giảm trong lý thuyết của

Khái niệm giảm thời gian đa thức (Giảm Cook) là một khái niệm trừu tượng của một khái niệm rất trực quan: giải quyết hiệu quả một vấn đề bằng cách sử dụng thuật toán cho một vấn đề khác.

Tuy nhiên, trong lý thuyết của -completeness, khái niệm về N P -hardness được chụp qua giảm mapping (Karp giảm). Khái niệm giảm "hạn chế" này ít trực quan hơn (ít nhất là với tôi). Nó thậm chí có vẻ hơi giả tạo, vì nó tạo ra một khái niệm ít trực quan hơn về độ cứng; qua mà tôi đang đề cập đến thực tế là N P không trivially chứa c o - N P . Mặc dù trong lý thuyết phức tạp, chúng ta rất quen với khái niệm có thể giải quyết vấn đề như S A T không có nghĩa là chúng ta có thể giải quyết ¯ S A $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$co-\mathcal{NP}$$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$, Trong khung cảnh thiên nhiên (được chụp bởi giảm Cook), giả sử chúng ta có một thuật toán để giải quyết , chúng ta có thể giải quyết ¯ S Một T chỉ bằng cách chạy thuật toán cho S Một T và trở ngược lại.$\mathsf{SAT}$$\overline{\mathsf{SAT}}$$\mathsf{SAT}$

Câu hỏi của tôi là tại sao chúng ta nên sử dụng giảm Karp cho lý thuyết về tính đồng nhất của ? Những khái niệm trực quan nào nó nắm bắt? Làm thế nào nó liên quan đến cách chúng ta hiểu "độ cứng của tính toán" trong thế giới thực?$\mathcal{NP}$

Giống như giảm Turing, nhiều mức giảm một đã đi vào lý thuyết phức tạp từ tài liệu lý thuyết tính toán / đệ quy. Giảm Cook và Karp là các phiên bản lý thuyết phức tạp tự nhiên của các mức giảm tương tự hiện có trong khả năng tính toán.

Có một cách trực quan để giải thích nhiều cách giảm: đó là hạn chế giảm Turing trong đó chúng ta chỉ có thể hỏi một câu hỏi duy nhất từ ​​nhà tiên tri và câu trả lời của nhà tiên tri sẽ là câu trả lời của chúng ta.

Bây giờ câu hỏi là tại sao chúng ta cần nghiên cứu điều này (và bất kỳ loại giảm nào khác như bảng chân lý, bảng chân lý yếu, v.v.)?

Những mức giảm này cho một bức tranh tốt hơn so với mức giảm Turing. Giảm Turing là quá mạnh mẽ để phân biệt giữa nhiều khái niệm. Một phần rất lớn của lý thuyết tính toán được dành cho việc nghiên cứu mức độ ce / re. Khái niệm về một bộ ce là trung tâm. Chúng ta có thể có máy TM có thể liệt kê một tập hợp vô hạn, chúng ta có thể không thể liệt kê phần bổ sung của nó. Nếu bạn muốn nghiên cứu các bộ ce thì Turing giảm quá mạnh vì các bộ ce không được đóng dưới nó. Vì vậy, nhiều mức giảm là một cách tự nhiên (và có thể) để xác định mức giảm cho mục đích này.

Các loại giảm khác được xác định cho các lý do tương tự. Nếu bạn quan tâm, tôi khuyên bạn nên kiểm tra "Lý thuyết đệ quy cổ điển" của Piergiorgio Odifreddi. Nó có một chương khá toàn diện về các mức giảm khác nhau và mối quan hệ của chúng.

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Có một số câu hỏi trên trang web này liên quan đến việc giảm Cook vs Karp. đã không thấy một mô tả rất rõ ràng về điều này cho người mới bởi vì nó hơi tinh tế theo nhiều cách và một lĩnh vực nghiên cứu tích cực / mở của nó. Dưới đây là một số ref có thể hữu ích để giải quyết nó. như wikipedia tóm tắt, "Việc giảm nhiều người có giá trị bởi vì hầu hết các lớp phức tạp được nghiên cứu kỹ đều bị đóng dưới một số loại giảm nhiều người, bao gồm P, NP, L, NL, co-NP, PSPACE, EXP và nhiều loại khác. Tuy nhiên, các lớp này không bị đóng dưới mức giảm nhiều người một cách tùy tiện. "

Có vẻ công bằng khi nói rằng ngay cả các nhà lý thuyết tiên tiến đang tích cực cân nhắc sự khác biệt và khác biệt chính xác như trong các tài liệu tham khảo dưới đây và toàn bộ câu chuyện sẽ không có sẵn trừ khi các phân tách lớp phức tạp mở quan trọng được giải quyết, tức là những câu hỏi này dường như được cắt vào trung tâm của câu đối không xác định.

[1] Cook so với Karp-Levin: Tách biệt các khái niệm hoàn thành nếu NP không nhỏ (1992) Lutz, Mayordomo

[2] Cook và Karp có giống nhau không? Beigel và Fortnow

[3] Nhiều vấn đề hoàn thành NP (PPT) khác xem các slide 9-14 về lịch sử & sự khác biệt giữa Cook và Karp