Hệ thống chứng minh tổng bình phương

Gần đây tôi đã thấy một số bài viết về arxiv đề cập đến một hệ thống bằng chứng được gọi là tổng bình phương.

Ai đó có thể giải thích một bằng chứng tổng bình phương là gì và tại sao các bằng chứng đó là quan trọng / thú vị?

Làm thế nào chúng có liên quan đến các hệ thống chứng minh đại số khác? Có phải họ là một dạng kép của Lassere?

Tổng bình phương hệ thống giấy tờ chứng minh cơ bản, được giới thiệu dưới tên của những sự bác bỏ Positivstellensatz bởi Grigoriev và Vorobjov , là một “tĩnh” hệ thống bằng chứng cho thấy một tập hợp các phương trình đa thức và bất phương trình trong đó f 1 , Hầm , f k , h 1 , Câu

$$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$$ , không có giải pháp chung trong R n : a bác bỏ S được cho bởi đa thức g i và e tôi , j mà - 1 = k Σ i = 1 g i f i + Σ tôi ⊆ { 1 , ... , m } Σ j e 2 $f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$$\mathbb R^n$$S$$g_i$$e_{I,j}$ (Người ta có thể làm việc với bất kỳ lĩnh vực thực khép kín ở vị trí củaR.) Đảm bảo Positivstellensatz Stengle rằngScó bác bỏ khi và chỉ khi nó không có giải pháp. Các biện pháp phức tạp chính ở đây làmức độcủa sự bác bỏ, đó là tối đa tổng độ của đa thức xuất hiện dưới các dấu hiệu tiền trong(*), có nghĩa là,gifivàe2tôi,jΠi∈Ihi. $$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$$ $\mathbb R$$S$$(*)$$g_if_i$$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

Như thường lệ với các hệ thống chứng minh đại số, người ta cũng có thể xem xét nó như là một hệ thống bác bỏ cho công thức Boolean không thể thoả mãn bằng cách bao gồm trong S các tiên đề x 2 i - x i cho mỗi biến x i , và một bản dịch của φ bởi sự bất bình đẳng đa thức.$\phi$$S$$x_i^2-x_i$$x_i$$\phi$

Thông tin thêm về lịch sử và sự phát triển của các hệ thống SOS có thể được tìm thấy trong http://arxiv.org/abs/1211.1958 .

$p(\vec{x}) \geq 0$$p(\vec{x})$$\vec{x}$

Các quy tắc suy luận là:

1. $\over x^2-x \geq 0$
2. $\over x-x^2 \geq 0$
3. $\over p(\vec{x})^2\geq 0$
4. $p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
5. $p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
6. $p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$$c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

Có các kết nối tốt đẹp với các thuật toán lập trình và xấp xỉ semidefinite.

Để biết thêm chi tiết, hãy xem cuộc nói chuyện gần đây của Albert Atserias tại hội thảo BIRS Cơ sở lý thuyết về giải quyết SAT ứng dụng :

• Albert Atserias , Hướng dẫn nhỏ về Hệ thống chứng minh bán đại số ( slide ), 2014