Độ cứng của tham số CLIITE?

Hãy $0\le p\le 1$ và xem xét các vấn đề quyết định

Bè lũ p Input: số nguyên s , đồ thị G với t đỉnh và cạnh Câu hỏi: không chứa một bè lũ trên ít nhất đỉnh?$_p$
$s$$G$$t$$\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$$s$

Một thể hiện của CLIQUE chứa tỷ lệ trong số tất cả các cạnh có thể. Rõ ràng CLIQUE dễ dàng cho một số giá trị của . CLIQUE chỉ chứa các biểu đồ bị ngắt hoàn toàn và CLIQUE chứa các biểu đồ hoàn chỉnh. Trong cả hai trường hợp, CLIQUE có thể được quyết định theo thời gian tuyến tính. Mặt khác, đối với các giá trị của gần bằng , CLIQUE là NP-hard bằng cách giảm từ chính CLIQUE: về cơ bản, nó đủ để lấy liên kết rời rạc với biểu đồ Turán . p p p $_p$$p$$_p$$p$$_0$$_1$$_p$$p$$1/2$$_p$ $T(t,s-1)$

Câu hỏi của tôi:

Là CLIQUE hoặc trong PTIME hoặc NP-đầy đủ cho mọi giá trị của ? Hoặc có các giá trị của mà CLIQUE có độ phức tạp trung gian (nếu P NP) không?$_p$$p$$p$$_p$

Câu hỏi này phát sinh từ một câu hỏi liên quan cho siêu dữ liệu, nhưng nó có vẻ thú vị theo đúng nghĩa của nó.

Tôi giả sử rằng số trong định nghĩa của vấn đề CLIQUE _p chính xác bằng số cạnh trong biểu đồ, không giống như nhận xét của gphilip cho câu hỏi.$\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

Vấn đề CLIQUE _p là NP-đầy đủ cho bất kỳ hằng số hợp lý 0 < p <1 bằng cách giảm từ vấn đề CLIQUE thông thường. (Giả định rằng p là hợp lý chỉ được yêu cầu để có thể được tính từ N trong đa thức thời gian trong N. )$\lceil pN \rceil$

Đặt k ≥3 là một số nguyên thỏa mãn cả k ² 1 / p và (1−1 / k ) (1−2 / k )> p . Cho đồ thị G có n đỉnh và m cạnh cùng với giá trị ngưỡng s , phép khử hoạt động như sau.

1. Nếu s < k , chúng tôi giải quyết vấn đề CLIITE trong thời gian O ( n ^s ). Nếu có một nhóm kích thước ít nhất là s , chúng tôi tạo ra một thể hiện có cố định. Mặt khác, chúng tôi sản xuất một trường hợp cố định.
2. Nếu n < s , chúng tôi sản xuất một trường hợp cố định.
3. Nếu n ≥ s ≥ k , chúng ta thêm vào đồ thị một phần của G a ( k −1) trong đó mỗi tập hợp bao gồm n đỉnh có chính xác edge và tạo ra biểu đồ này.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Lưu ý rằng trường hợp 1 mất thời gian O ( n ^{k 1} ), là đa thức tính theo n cho mọi p . Trường hợp 3 là có thể bởi vì nếu n ≥ s ≥ k , thì là không âm và nhiều nhất là số cạnh trong toàn bộ ( k 1) đồ thị -partite K _{n ,} chụp _{, n} như thể hiện trong hai yêu cầu sau.$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

Yêu cầu 1 . .$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

Bằng chứng . Vì , nên chúng tôi chứng minh hoặc tương đương pnk ( nk 1) ≥ n ( n −1). Vì p ≥ 1 / k ² , nên ta có pnk ( nk 1) ≥ n ( n 1 / k ) ≥ n ( n 1). QED .$m \le \binom{n}{2}$$p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

Yêu cầu 2 . . (Lưu ý rằng phía bên tay phải là số cạnh trong đồ thị hoàn chỉnh (k − 1) K _{n ,} Lân _{, n} .)$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

Bằng chứng . Vì và m ≥ 0, nên chúng tôi chứng minh hoặc tương đương n ² ( k 1) ( k 2) - pnk ( nk 1) - 2 ≥ 0. Vì p <(1−1 / k ) (1−2 / k ), nên ta có QED .$\lceil x \rceil \lt x+1$$p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

Chỉnh sửa : Việc giảm bản sửa đổi 1 có lỗi; đôi khi nó yêu cầu một đồ thị có số cạnh âm (khi p nhỏ). Lỗi này được khắc phục ngay bây giờ.

Nếu có thể là hàm của , thì bài toán có thể là trung gian. Thiết lập sao cho số cạnh sẽ là . Sau đó, rõ ràng có thể có tối đa và do đó có thuật toán cho vấn đề này, có nghĩa là vấn đề (theo giả định tiêu chuẩn, nói SAT không có thuật toán phụ) Được NP chăm chỉ.$p$$t$$p$$\log^4 t$$s$$\log^2 t$$t^{\log^2 t}$

Mặt khác, vấn đề này khó hơn vấn đề clique tiêu chuẩn trên các đỉnh (bạn luôn có thể đặt tất cả các cạnh trên các đỉnh đó và bỏ qua phần còn lại). Và một lần nữa, theo cùng một giả định, bài toán không có thuật toán thời gian đa thức.$\log^2 t$

Nếu là hằng số thì luôn luôn NP cứng như gphilip đã nói.$p$