Về tính tối ưu của thuật toán Grover với xác suất thành công cao

Nó nổi tiếng rằng lỗi bị chặn phức tạp query lượng tử của hàm là Θ ( $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$. Bây giờ câu hỏi là gì nếu chúng ta muốn thuật toán lượng tử của chúng tôi để thành công cho mỗi đầu vào với xác suất1-εchứ không phải là bình thường2/3. Bây giờ vềεnhững gì sẽ là giới hạn trên và dưới thích hợp?$\Theta(\sqrt{n})$$1-\epsilon$$2/3$$\epsilon$

Ngay lập tức là truy vấn cũng đủ cho nhiệm vụ này bằng cách lặp lại các thuật toán Grover. Nhưng từ những gì tôi nhớ đây không phải là ở tất cả các tối ưu như thuật toán Grover thậm chí đơn giản nếu chạy cẩn thận, tức là cho số lượng thích hợp lặp lại, có thể đạt được một cái gì đó giống nhưε=O(1/n)chỉ vớiO($O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$$\epsilon=O(1/n)$lặp lại. Và do đó sử dụng mà người ta có thể có được một sự cải tiến cho tất cảε's. Mặt khác, tôi không hy vọng rằngΩ($O(\sqrt{n})$$\epsilon$là câu trả lời đúng cho rất nhỏε's.$\Omega(\sqrt{n})$$\epsilon$

Nhưng tôi đang quan tâm để xem những gì người ta có thể hiển thị trong điều kiện của -dependent trên và cận dưới cho các phạm vi khác nhau của ε đặc biệt là khi ε là tiếng nói rất nhỏ ε = exp ( - Ω ( n ) ) hoặc ε = 1 / n k cho k lớn .$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon= \exp(-\Omega(n))$$\epsilon=1/n^k$$k$

(Để đưa ra một số bối cảnh, hiện tượng chung mà tôi đang gặp phải là sự khuếch đại trong bối cảnh phức tạp của truy vấn lượng tử.)

Để hoàn thiện, đây là một câu trả lời.

Hãy biểu thị ε -lỗi lượng tử phức tạp truy vấn của máy tính một hàm f và O R n là HOẶC chức năng trên n bit, định nghĩa là O R n ( x 1 , ... , x n ) = ⋁ n i = 1 x tôi . (Lưu ý rằng đây là khác biệt so với các vấn đề mà bạn đang hứa rằng các đầu vào có chính xác một 1 và mục tiêu là để thấy rằng 1. Đó là vấn đề có thể được giải quyết với không có lỗi trong Θ $Q_\epsilon(f)$$\epsilon$$f$$\mathsf{OR}_n$$n$$\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$truy vấn.)$\Theta(\sqrt{n})$

Sau đó, chúng tôi đã cho tất cả ,$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

.$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Điều này diễn ra sau Giới hạn cho các thuật toán lượng tử có lỗi nhỏ và không có lỗi .

Trong thực tế, chúng ta biết một cái gì đó tổng quát hơn. Đối với tất cả các chức năng đối xứng , đó là chức năng mà chỉ phụ thuộc vào trọng lượng Hamming của đầu vào, chúng tôi có mà cho tất cả ε ∈ [ 2 - n , 1 / 3 ] ,$f$$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

.$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Điều này đã được thể hiện trong Một lưu ý về thuật toán lượng tử và mức độ tối thiểu của đa thức lỗi epsilon cho các hàm đối xứng .