Có một vấn đề dễ dàng đối với đồ thị hình khối nhưng khó đối với đồ thị có độ 3 tối đa?

Đồ thị hình khối là đồ thị trong đó mọi đỉnh đều có độ 3. Chúng đã được nghiên cứu rộng rãi và tôi biết rằng một số vấn đề NP-hard vẫn là NP-hard thậm chí bị giới hạn trong các lớp con của đồ thị khối, nhưng một số khác lại dễ dàng hơn. Một siêu lớp của đồ thị hình khối là lớp đồ thị có mức độ tối đa . $\Delta \leq 3$

Có bất kỳ vấn đề nào có thể được giải quyết trong thời gian đa thức cho đồ thị khối nhưng đó là NP-hard cho đồ thị có mức độ tối đa ? $\Delta \leq 3$

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Vinicius dos Santos
nguồn

Câu trả lời khử cho thấy có thể có các độ phức tạp khác nhau (mặc dù NP-Hard cũng không): Tìm là thời gian không đổi trên đồ thị hình khối nhưng tuyến tính trên đồ thị có . :-)

δ

$\delta$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— William Macrae

Điểm tốt. :-)

— Vinicius dos Santos

Đối với các lựa chọn mã hóa xấu, nó thậm chí có thể là -hard khi , nhưng sẽ có giá trị hơn nhiều khi tìm thấy một vấn đề không dựa vào mã hóa kém, và thậm chí tốt hơn nếu vấn đề đó là tốt học một cái.

N P

$NP$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— William Macrae

Để mở rộng nhận xét của William, đây là một vấn đề nhân tạo. Cho một đồ thị , trình tự mức độ của , được hiểu là mã hóa của một thể hiện của 3-SAT, đại diện cho một thể hiện thỏa đáng? $G$ $G$ (Giả sử mã hóa sao cho chuỗi 3 độ thể hiện sự phân công thỏa mãn cho mọi .) :-)

n

$n$

— Neal Young

Xem thêm cstheory.stackexchange.com/questions/1215/ lấy để có thêm cảm hứng (ví dụ: các vấn đề khó xảy ra với cây tối đa 3, nhưng tầm thường nếu không có nút lá).

— Jukka Suomela

Đây là một cách tự nhiên hợp lý: trên một đầu vào , xác định xem có một sơ đồ con thông thường được kết nối với ít nhất cạnh không. Đối với đồ thị 3 thông thường, đây là tầm thường, nhưng nếu mức tối đa là 3 và đầu vào được kết nối, không phải là cây và không đều, thì sơ đồ con lớn nhất như vậy là chu kỳ dài nhất, vì vậy vấn đề là NP-đầy đủ. $(G,k)$ $G$ $k$

— David Eppstein
nguồn

"... thì giải pháp là chu kỳ dài nhất hoặc khớp tối đa ...". Làm thế nào để yêu cầu của bạn phụ thuộc vào k? Nó không đúng với tất cả k.

— Tyson Williams

@Tyson, chỉ cần khó một

là khó, phải không? Ví dụ: lấy

. David, bạn có cần phải quy định rằng sơ đồ con nên được kết nối? (Mặt khác, bất kỳ nắp chu kỳ nào (không chỉ là chu trình Hamilton) sẽ có

cạnh và xác định sự tồn tại của nắp chu kỳ là ở

)

k

$k$

k = n

$k=n$

n

$n$

P

$P$

— Neal Young

David, một kết hợp tối đa (có kích thước lớn hơn 1) trong G không phải là một sơ đồ con được kết nối của G. Bạn có nghĩa là nói "... hoặc là chu kỳ dài nhất hoặc một cạnh duy nhất, ..."?

— Tyson Williams

Ừ ừ. Hôm nay dường như không phải là một ngày tốt để tôi nghiêm khắc - có lẽ quá nhiều gà tây. Tôi đã thêm một số ngôn ngữ để loại trừ trường hợp đặc biệt này.

— David Eppstein

@YininCao Vì biểu đồ được kết nối nhưng không thường xuyên, không có cách nào để chọn một sơ đồ con 3 thông thường. Giả sử nó là. Sau đó, tồn tại một đỉnh không được chọn do biểu đồ không đều. Vì biểu đồ được kết nối, đỉnh này được kết nối với một số đỉnh 3 thông thường đã được chọn. Nhưng điều đó có nghĩa là tồn tại một đỉnh cấp 4, một mâu thuẫn.

— Tyson Williams