Đại số (hoặc số) bất biến của các lớp phức tạp

Tôi hy vọng câu hỏi này không quá ngây thơ cho trang web này.

Trong toán học (cấu trúc liên kết, hình học, đại số) người ta thường phân biệt giữa hai đối tượng bằng cách đưa ra một bất biến đại số hoặc số, và chứng minh hai đối tượng có các giá trị khác nhau. Tôi đang tự hỏi mức độ này đã được thử với các lớp phức tạp (hoặc nếu có, tại sao tôi chưa từng nghe về nó). Các cấu trúc đại số xuất hiện rất nhiều trong toàn bộ khoa học máy tính lý thuyết (cf Sử dụng các cấu trúc đại số trong khoa học máy tính lý thuyết ), vậy tại sao không trong lý thuyết phức tạp?

Trong sự ngây thơ của tôi, tôi có thể tưởng tượng ra một khái niệm tương đương của hai ngôn ngữ: sự tồn tại của việc giảm thời gian đa thức cũng có thể đảo ngược (hoặc một mệnh đề trên chuỗi). Tôi cũng có thể tưởng tượng rằng khái niệm này là không phù hợp: không có ngôn ngữ hữu hạn nào về tính khác biệt có thể được coi là tương đương, mặc dù chúng ta thường quan tâm đến ngôn ngữ vô hạn hơn.

Có bất kỳ khái niệm nào khác, yếu hơn về sự đẳng cấu của các ngôn ngữ đã mang lại kết quả thú vị không? Có những loại bất biến có hương vị số khác đã được sử dụng để phân biệt các lớp phức tạp không?

Trước hết, mối quan hệ bạn xác định thường được gọi là đẳng cấu thời gian đa thức ( ). Mặc dù đẳng cấu là một khái niệm thú vị đã được nghiên cứu, nhưng mối quan hệ (yếu hơn) thường được quan tâm hơn về độ phức tạp là tương đương thời gian đa thức : A và B tương đương ( A ≡ p m B ) nếu có nhiều thời gian đa thức- một mức giảm (còn gọi là giảm Karp) từ A đến $\cong^p$$A$$B$$A \equiv_m^p B$$A$$B$và ngược lại, nhưng các mức giảm đó không cần phải đảo ngược với nhau và thậm chí không cần phải đảo ngược thời gian đa thức. Đôi khi, chúng tôi cũng quan tâm đến sự tương đương theo các mức giảm Turing đa thời gian hơn là nhiều - một ( ), hay còn gọi là giảm Cook. Ví dụ, một trong hai khái niệm tương đương này là "đủ tốt" cho P so với N P (nghĩa là bạn không cần phải xem xét các lớp đẳng cấu).$\equiv_T^p$$P$$NP$

Từ góc độ tương đương thời gian đa thức, có một phần "lý do chính đáng" mà bạn không nghe về bất biến số: chúng không thể hoạt động nói chung. Một định lý trong luận án của Andrew Marks nói rằng hoàn thành cho các mối quan hệ tương đương Borel có thể đếm được (phần giới thiệu luận án của ông đưa ra một cái nhìn tổng quan về mối quan hệ tương đương Borel và tầm quan trọng của chúng). Cụ thể, điều này ngụ ý rằng không có hàm Borel f : 2 N → R sao cho A ≡ p T B iff f ( $\equiv_T^p$$f: 2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$A \equiv_T^p B$$f(A) = f(B)$.

Lý do tôi nói điều này chỉ là một phần lý do chính đáng là có vẫn có thể là một hàm Borel ví dụ rằng nếu f ( A ) ≠ f ( B ) sau đó Một ≢ p T B . Hoặc có thể có một chức năng không phải Borel thực hiện công việc, nhưng nếu có một chút chúng ta sẽ không thể tìm thấy nó ...$f:2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$f(A) \neq f(B)$$A \not\equiv_T^p B$

Nhưng phân loại tất cả các lớp tương đương cũng mạnh hơn những gì chúng ta thường quan tâm, vì số lượng các lớp tương đương xuất hiện dưới dạng các lớp phức tạp tự nhiên là tương đối nhỏ (mặc dù quy mô cấm của vườn thú phức tạp). Tuy nhiên, có những bất biến "số" khác mà chúng ta có thể liên kết với các ngôn ngữ. Một trong số đó là mật độ của chúng: mật độ của ngôn ngữ là hàm d A ( n ) : = số chuỗi trong A có độ dài ≤ n . Lưu ý rằng mật độ được bảo toàn, cho đến khi thay đổi đa thức, bởi các đẳng cấu đa thời gian, nhưng không nhất thiết phải bằng các tương đương thời gian đa thức (ví dụ: tất cả các ngôn ngữ trong $A$$d_A(n) :=$$A$$\leq n$$P$là tương đương thời gian đa thức, nhưng chúng có thể có mật độ cực kỳ khác nhau).

Chúng tôi biết những thứ như: nếu là đa thức thưa thớt ( d Một ( n ) ≤ p o l y ( n ) ) thì A không thể N P -complete trừ khi P $A$$d_A(n) \leq poly(n)$$A$$NP$ (Mahaney của Định lý). Có rất nhiều kết quả khác về các ngôn ngữ thưa thớt và mối quan hệ của chúng với các lớp phức tạp. Để có những khảo sát tốt, hãy xem Cai và Ogihara "Các bộ thưa thớt so với các lớp phức tạp" trong Hồi cứu lý thuyết phức tạp II (có sẵn trực tuyến - chỉ Google) và cặp bài viết "Một khoảnh khắc hoàn hảo rõ ràng I, II" của Hemaspaandra và Glaßer.$P=NP$

Như được đề cập bởi @SureshVenkat, bạn có thể xem Lý thuyết phức tạp hình học trong ánh sáng mà bạn đang nói đến. Tuy nhiên, các đối tượng đại số được sử dụng ở đó - cụ thể là đại diện - gần giống với các tính chất chung của ngôn ngữ hơn là thuộc tính số trên mỗi se, nhưng ít nhất chúng là các thuộc tính của hương vị đại số.

Cuối cùng, trong lý thuyết phức tạp đại số, một thuộc tính số đáng được đề cập, nhưng có lẽ sẽ không hoạt động để giải quyết các câu hỏi lớn, là bằng cấp. (Như ở mức độ của một đa thức.) Giới hạn mức độ của Strassen vẫn là giới hạn siêu tuyến tính duy nhất được biết đến giới hạn trên các mạch đại số không giới hạn. Bằng cấp cũng được sử dụng, ví dụ như trong Razborov-Smolensky và nhiều lĩnh vực khác về độ phức tạp mạch cấp thấp (Boolean).