Các thư mục con hoàn chỉnh # P của # 2-SAT là gì?

Phiên bản ngắn.

Bằng chứng ban đầu rằng # 2-SAT là #P -complete cho thấy, trên thực tế, những trường hợp của # 2-SAT là cả hai đơn điệu (không liên quan đến phủ định của bất kỳ biến nào) và bipartite (biểu đồ được tạo bởi các mệnh đề trên các biến là một đồ thị lưỡng cực) là #P -hard. Do đó, hai trường hợp đặc biệt # 2-MONOTONE-SAT và # 2-BIPARTITE-SAT là #P -hard. Có trường hợp đặc biệt nào khác có thể được mô tả theo các đặc tính 'tự nhiên' của công thức, cũng là #P -hard không?

Phiên bản dài.

Vấn đề # 2-SAT là nhiệm vụ của điện toán - đối với công thức boolean bao gồm sự kết hợp của một số mệnh đề, trong đó mỗi mệnh đề là một hàm của hai chữ x j hoặc ˉ x j - số chuỗi boolean x ∈ { 0 , 1 } n như vậy φ ( x ) = 1 . Tìm hiểu xem có tồn tại một x như vậy hay không ; nhưng đếm số lượng giải pháp nói chung là #P -complete, như được thể hiện bởi Valiant trong$\phi$$x_j$$\bar x_j$$x \in \{0,1\}^n$$\phi(x) = 1$$x$Sự phức tạp của vấn đề liệt kê và độ tin cậy, SIAM J. Comput., 8 , trang 410 phản hồi421 .

Đối với trường hợp của # 2-SAT nói riêng, những gì Valiant thực sự thể hiện là sự giảm xuống # 2-SAT từ việc đếm các trận đấu (bao gồm cả những điểm không hoàn hảo) trong các biểu đồ lưỡng cực, tạo ra các trường hợp của # 2-SAT với cấu trúc rất đặc biệt , như sau.

1. Đầu tiên, lưu ý rằng vấn đề đơn điệu là tương đương, bằng cách thay thế, cho vấn đề trong đó với mỗi biến , hoặc x j xảy ra trong công thức ϕ hoặc ˉ x j không nhưng cả hai. Cụ thể, vấn đề "giảm đơn điệu" trong đó chỉ có các phủ định ˉ x j xảy ra cho mọi biến là chính xác như trường hợp đơn điệu.$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. Đối với bất kỳ đồ thị có m cạnh, chúng ta có thể xây dựng công thức 2-SAT giảm đơn điệu tương ứng với các khớp - các tập hợp các cạnh không chia sẻ bất kỳ đỉnh nào - bằng cách gán một biến x e cho mỗi cạnh, biểu thị cho dù nó được bao gồm trong một bộ cạnh; tài sản của một tập M ⊆ E là một khớp tương đương với tỷ lệ vector x = χ M thỏa mãn công thức CNF φ có điều khoản được đưa ra bởi ( ˉ x e ∨ ˉ x f$G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$$(\bar x_e \vee \bar x_f)$với mọi cặp cạnh có chung một đỉnh. Bằng cách xây dựng, φ có nhiều giải pháp thỏa mãn x ∈ { 0 , 1 } m như có (có thể không hoàn hảo) matchings trong đồ thị G .$e, f \in E$$\phi$$\mathbf x \in \{0,1\}^m$$G$

3. Nếu biểu đồ mà chúng ta muốn đếm các kết quả trùng khớp là lưỡng cực, thì nó không chứa chu kỳ lẻ - mà chúng ta có thể mô tả như một chuỗi các cạnh trong biểu đồ bắt đầu và kết thúc với cùng một cạnh (không tính hai cạnh cuối cùng hai lần) . Sau đó, không có chuỗi các biến x e , x f , x g , ... , x e có độ dài lẻ trong φ , trong đó biến liền kề được tham gia vào một điều khoản chung. Sau đó, công thức φ sẽ song phương theo cách mô tả ở trên.$G$$x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. $G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$B G G k G n { 0 , 1 $0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$$G_k$, bằng cách đếm những cái này có thể xác định số lượng khớp trong có kích thước (nghĩa là khớp hoàn hảo); và lưu ý rằng việc đếm số lượng khớp hoàn hảo trong các biểu đồ lưỡng cực tương đương với tính toán vĩnh viễn của -ricrices bằng một tương ứng đơn giản.$G$$n$$\{0,1\}$

Lớp các trường hợp của # 2-SAT được hiển thị là #P -hard sau đó là các thể hiện lưỡng cực đơn điệu.

Câu hỏi: Các trường hợp đặc biệt khác của # 2-SAT là #P -complete, là kết quả của việc giảm này hay một số giảm khác?

Sẽ rất thú vị nếu, ngoài việc hiển thị / trích dẫn giảm, mọi người còn có thể mô tả một lý do trực quan về cách trường hợp đặc biệt có thể cung cấp trở ngại cho các phương pháp tiếp cận tự nhiên để đếm các bài tập phù hợp. Chẳng hạn, mặc dù MONOTONE-2-SAT có thể giải quyết được một cách tầm thường ( luôn là một giải pháp), các trường hợp đơn điệu là những trường hợp gán một số biến cho một giá trị cố định sẽ thường xuyên không áp đặt nhiều ràng buộc cho phần còn lại biến. Việc sửa bất kỳ biến chỉ hạn chế các giá trị của các biến liên quan ngay lập tức với nó bởi một số mệnh đề; và đặtx j = 0 x j = $\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$không hạn chế các giá trị có thể của bất kỳ biến nào khác. (Tuy nhiên, không rõ ràng rằng hạn chế so sánh đối với đồ thị lưỡng cực có ý nghĩa theo cùng một cách, tuy nhiên, hạn chế lưỡng cực dường như thêm cấu trúc thay vì loại bỏ nó, nhưng không thể thêm cấu trúc đủ để đếm hiệu quả.)

Chỉnh sửa để thêm. Điểm thưởng sẽ được trao cho bất kỳ lớp nào không phụ thuộc vào sự tồn tại của các trường hợp đơn điệu (như # 2-BIPARTITE-SAT ở trên, có độ cứng rõ ràng là do bao gồm trường hợp đặc biệt #P -hard # 2 -MONOTONE-BIPARTITE-SAT). Chẳng hạn, một đối số về độ cứng của # 2-BIPARTITE-SAT không dựa vào các trường hợp đơn điệu (nhưng có thể dựa vào một số phân họ khác) sẽ rất thú vị.

# 3-Vỏ bọc Bipartite Planar thông thường là # P-Complete

Vì việc đếm các đỉnh bao phủ hoàn toàn giống như đếm các bài tập thỏa mãn của một ví dụ # 2-SAT đơn điệu , kết quả trên ngụ ý rằng nó hoàn toàn # P để đếm các bài tập thỏa mãn của một ví dụ # 2-SAT đơn điệu và 3 đều đặn và lưỡng cực và phẳng .

Đến lượt điều này có nghĩa là, ngoài hai trường hợp đặc biệt # 2-MONOTONE-SAT và # 2-BIPARTITE-SAT đã được trích dẫn trong câu hỏi, hai trường hợp đặc biệt # 2-CUBIC-SAT và # 2-PLANAR-SAT là # P-hoàn thành là tốt.