Mối quan hệ của các định lý bất toàn của Gôdel với Luận án Turing của Giáo hội

Đây có thể là một câu hỏi ngây thơ, nhưng ở đây đi. (Chỉnh sửa - nó không nhận được sự ủng hộ, nhưng cũng không có ai đưa ra câu trả lời; có lẽ câu hỏi khó hơn, tối nghĩa hoặc không rõ ràng hơn tôi nghĩ?)

Định lý bất toàn đầu tiên của Gôdel có thể được chứng minh là hệ quả của tính không ổn định của vấn đề tạm dừng (ví dụ Sipser Ch. 6; bài đăng trên blog của Scott Aaronson ).

Từ những gì tôi hiểu (được xác nhận bởi các ý kiến), bằng chứng này không phụ thuộc vào luận án Church-Turing. Chúng tôi rút ra một mâu thuẫn bằng cách chỉ ra rằng, trong một hệ thống chính thức hoàn chỉnh và nhất quán, Máy Turing có thể giải quyết vấn đề tạm dừng. (Nếu mặt khác, chúng tôi đã chỉ ra rằng một số thủ tục hiệu quả có thể quyết định vấn đề tạm dừng, thì chúng tôi cũng cần phải giả sử luận án Church-Turing để có được mâu thuẫn.)

Vì vậy, chúng tôi có thể nói rằng kết quả này cung cấp một chút hỗ trợ trực quan cho luận án Church-Turing, bởi vì nó cho thấy rằng một giới hạn của Turing Machines bao hàm một giới hạn phổ quát. (Bài đăng trên blog của Aaronson chắc chắn hỗ trợ quan điểm này.)

Câu hỏi của tôi là liệu chúng ta có thể đạt được một cái gì đó cụ thể hơn bằng cách đi ngược lại: Những định lý chính thức nào của định lý của Godel đối với luận án Church-Turing? Chẳng hạn, có vẻ như trực giác rằng định lý bất toàn thứ nhất ngụ ý rằng không có quy trình hiệu quả nào có thể xác định nếu một máy Turing tùy ý dừng lại; lý do có thể đi rằng sự tồn tại của thủ tục một ví dụ ngụ ý khả năng để xây dựng hoàn chỉnh $\omega$ lý thuyết -consistent. Điều này có đúng không? Có bất kỳ kết quả dọc theo những dòng này?

(Tôi đang tò mò - Tôi không tự nghiên cứu logic - vì vậy tôi xin lỗi nếu điều này nổi tiếng hoặc không ở cấp độ nghiên cứu. Trong trường hợp đó, hãy xem đây là yêu cầu tham khảo! Cảm ơn mọi bình luận hoặc phản hồi !)

Câu hỏi nghe có vẻ liên quan, nhưng không phải là: Định lý của Church và Định lý bất toàn của Gôdel

EDIT: Tôi sẽ cố gắng làm cho câu hỏi rõ ràng hơn! Đầu tiên - trực giác ngây thơ của tôi là sự không đầy đủ của Gôdel nên ngụ ý ít nhất một số hạn chế về những gì là hoặc không thể tính toán được. Những hạn chế này sẽ là vô điều kiện, nghĩa là , chúng nên áp dụng cho tất cả các mô hình tính toán thay vì chỉ Turing Machines.

Vì vậy, tôi tự hỏi nếu đây là trường hợp (phải có một số hàm ý, phải không?). Giả sử là như vậy, tôi tò mò nhất về cách nó tác động đến Luận án Giáo hội - khái niệm rằng mọi thứ có thể tính toán hiệu quả đều có thể được tính toán bằng Máy Turing. Ví dụ, có vẻ như sự tồn tại của một quy trình hiệu quả để quyết định liệu Máy Turing tạm dừng có mâu thuẫn với Định lý bất toàn đầu tiên hay không. Kết quả này sẽ chứng minh rằng không có phương pháp tính toán khả thi nào có thể "mạnh" hơn nhiều so với Turing Machines; Nhưng kết quả này có đúng không? Tôi có một vài câu hỏi tương tự trong các ý kiến. Tôi sẽ rất thích thú khi nghe một câu trả lời cho một trong những câu hỏi này, một con trỏ đến một câu trả lời trong tài liệu, một lời giải thích về lý do tại sao toàn bộ lý luận của tôi là không đúng, hoặc bất kỳ ý kiến ​​nào khác!

Đây là một câu trả lời triết học có thể giải trí cho bạn.

Các định lý không hoàn chỉnh của Gôdel là về hệ thống chính thức của số học Peano. Vì vậy, họ không nói gì về các mô hình tính toán, ít nhất là không có một số lượng giải thích.

Số học Peano dễ dàng cho thấy sự tồn tại của các hàm không tính toán được. Ví dụ, là một lý thuyết cổ điển đủ sức biểu cảm để nói về các máy Turing, nó cho thấy trường hợp cụ thể của trung gian bị loại trừ nói rằng mọi máy Turing tạm dừng hoặc chạy mãi mãi. Tuy nhiên, từ công việc của Gôdel, một khái niệm quan trọng về khả năng tính toán nảy sinh, cụ thể là chức năng đệ quy (nguyên thủy) . Vì vậy, chính các định lý không liên quan đến khả năng tính toán, mà là phương pháp chứng minh xác lập chúng.

Ý chính của các định lý không hoàn chỉnh có thể được thể hiện dưới dạng trừu tượng bằng cách sử dụng logic chứng minh, đó là một loại logic phương thức. Điều này mang lại cho các định lý không hoàn chỉnh một phạm vi ứng dụng rộng vượt ra ngoài số học và tính toán của Peano. Ngay khi các nguyên tắc điểm cố định nhất định được thỏa mãn, tính không hoàn chỉnh sẽ xuất hiện. Các nguyên tắc điểm cố định này được thỏa mãn bởi lý thuyết tính toán truyền thống, do đó trở thành nạn nhân của sự không hoàn chỉnh, theo ý tôi là sự tồn tại của các bộ ce không thể tách rời. Bởi vì các câu có thể chứng minh và có thể bác bỏ của dạng số học Peano không thể tách rời, các định lý không hoàn chỉnh của Gôdel truyền thống có thể được coi là một hệ quả của hiện tượng không hoàn chỉnh trong tính toán. (Tôi đang mơ hồ về mặt triết học và đầu bạn sẽ đau nếu bạn cố gắng hiểu tôi là một nhà toán học.)

Tôi cho rằng chúng ta có thể có hai quan điểm về việc tất cả những điều này liên quan đến khái niệm không chính thức về hiệu quả ("thứ thực sự có thể được tính toán"):

1. Đối với tất cả những gì chúng ta biết, chúng ta chỉ là một máy tự động hữu hạn khá lớn, có khả năng chiêm ngưỡng các siêu anh hùng hư cấu được gọi là "máy Turing" có thể tính toán với các số không giới hạn (gasp!). Nếu đây là trường hợp, Gôdel chỉ là một người kể chuyện rất hay. Làm thế nào những câu chuyện của ông chuyển thành hiệu quả là vấn đề của một số ứng dụng (nhất thiết không chính xác) của trí tưởng tượng vào thực tế.

2. Bởi vì hiện tượng không hoàn hảo phát sinh một cách tự nhiên trong nhiều bối cảnh, và chắc chắn trong tất cả các khái niệm hợp lý về tính toán, chúng tôi kết luận rằng điều tương tự phải xảy ra đối với hiệu quả. Ví dụ: giả sử chúng ta có thể gửi các máy Turing vào các lỗ đen để tính toán các máy Turing vô thời gian của Joel Hamkin . Điều này mang lại cho chúng ta sức mạnh tính toán to lớn trong đó nhà tiên tri tạm dừng là một món đồ chơi mẫu giáo. Tuy nhiên, mô hình đáp ứng các điều kiện cơ bản cho phép chúng tôi hiển thị sự tồn tại của các tập hợp không thể tách rời. Và do đó, một lần nữa, tính toán không phải là toàn năng và không hoàn hảo là một thực tế của cuộc sống.

Tôi muốn nhấn mạnh nhận xét của Neel , các công cụ chính cho cả tính không ổn định của việc tạm dừng và các định lý không hoàn chỉnh của Godel là:

1. mã hóa các khái niệm cú pháp như bằng chứng, tính toán, v.v. bằng số / chuỗi và quan hệ / hàm trên chúng;
2. Định lý điểm cố định của Godel.

Việc mã hóa các đối tượng và khái niệm cú pháp có vẻ rõ ràng ngày nay chúng ta đã quen với máy tính kỹ thuật số nhưng đó là một ý tưởng khéo léo cần thiết cho các máy tính và phần mềm phổ quát. Tất cả những gì cần thiết để chứng minh sự tồn tại của một trình giả lập phổ quát đều nằm trong bài báo của anh ấy.

Godel cũng cho thấy rằng chúng ta có thể biểu diễn các khái niệm cú pháp này và nói chung các quan hệ / hàm tính toán TM bằng các công thức tính toán đơn giản.

Tóm lại, bằng chứng không đầy đủ của Godel là như sau:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

Tính không ổn định của vấn đề tạm dừng đối với các TM sử dụng các thành phần tương tự:

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

Các bằng chứng rất giống nhau và sử dụng cùng các thành phần (mặc dù đối với người đã quen thuộc với TM nhưng không có nhiều logic, tính không ổn định của vấn đề tạm dừng có thể trông đơn giản hơn: ví dụ cụ thể của định lý điểm cố định được sử dụng trong chứng minh không thể xác định có thể trông đơn giản hơn ví dụ cụ thể của điểm cố định được sử dụng trong định lý của Godel mặc dù về cơ bản chúng giống nhau, nhưng các ý tưởng thiết yếu chỉ là mã hóa các đối tượng cú pháp và khái niệm bằng cách sử dụng số / chuỗi và công thức / hàm về chúng và áp dụng một định lý điểm cố định).

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Lưu ý rằng các định lý của Godel được xuất bản vào năm 1931, trong khi tính không ổn định của Turing được xuất bản vào năm 1936. Tại thời điểm xuất bản TM giấy của Godel chưa được xác định và Godel đang sử dụng một mô hình tương đương khác. IIRC, Godel không hoàn toàn hài lòng với kết quả của mình khi giải quyết mục tiêu ban đầu của chương trình Hilbert vì ông không tin rằng mô hình tính toán mà ông sử dụng thực sự nắm bắt được khái niệm trực quan về tính toán thuật toán, ông chỉ hài lòng sau khi lập luận triết học của Turing về việc nắm bắt TM khái niệm trực quan về khả năng tính toán thuật toán. Tôi nghĩ bạn có thể đọc thêm về điều này trong các tác phẩm thu thập của Godel.