Độ cứng của xấp xỉ mà không có định lý PCP

Một ứng dụng quan trọng của định lý PCP là nó mang lại kết quả loại "độ cứng gần đúng". Trong một số trường hợp tương đối đơn giản hơn, người ta có thể chứng minh độ cứng như vậy mà không cần PCP. Tuy nhiên, có trường hợp nào mà độ cứng của kết quả gần đúng được chứng minh đầu tiên bằng cách sử dụng định lý PCP, nghĩa là kết quả không được biết trước, nhưng sau đó, một bằng chứng trực tiếp hơn đã được tìm thấy không phụ thuộc vào PCP? Nói cách khác, có trường hợp nào mà PCP xuất hiện cần thiết trước không, nhưng sau đó có thể được loại bỏ không?

Một ví dụ là bài báo này:

Guruswami, V., & Khanna, S. (2004). Về độ cứng của 4 màu, đồ thị 3 màu. Tạp chí SIAM về Toán học rời rạc , 18 (1): 30-40. liên kết

Sử dụng Định lý PCP, Khanna, Linial và Safra (2000) đã chứng minh rằng rất khó để tô màu cho đồ thị 3 màu chỉ bằng 4 màu. Sau đó, Guruswami & Khanna (2004) đã đưa ra, trong số những điều tốt đẹp khác, một bằng chứng không có PCP cho kết quả tương tự.

Đối với vấn đề đường dẫn tách rời tối đa trong đồ thị có hướng, bài báo của Ma & Wang (2000) được dựa trên vấn đề che nhãn mà lần lượt dựa trên định lý PCP. Sau đó, việc giảm đơn giản thông qua độ cứng của vấn đề 2 điểm đã được tìm thấy bởi Guruswami et. al. (2003) cũng đã cải thiện độ cứng.

Có những ví dụ từ việc tính gần đúng. Việc tính số lượng bài tập thỏa mãn của mối quan hệ NP chỉ có thể khó hơn so với việc quyết định liệu bài tập thỏa mãn có tồn tại hay không, vì vậy không quá ngạc nhiên khi người ta không cần định lý PCP để chứng minh độ cứng cho các vấn đề đó. Tuy nhiên, định lý PCP đôi khi đưa ra một điểm khởi đầu thuận tiện, ví dụ, đối với bài viết này về việc đếm xấp xỉ số lượng các bộ độc lập trong một biểu đồ thưa thớt: http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mrj/ con / DFJ02.pdf Sau đó, Sly đã chứng minh kết quả độ cứng khi tính xấp xỉ các bộ độc lập chỉ dựa trên độ cứng NP tiêu chuẩn của Max-Cut: http://arxiv.org/pdf/1005.5584v1.pdf

Một câu trả lời khác, với tinh thần hơi khác so với các câu trả lời trước đó, là bài viết này của Uri Feige: Mối quan hệ giữa Độ phức tạp trường hợp trung bình và Độ phức tạp xấp xỉ .

Uri chỉ ra rằng các giả định trường hợp trung bình có thể thay thế định lý PCP để chứng minh độ cứng xấp xỉ của một số vấn đề. Tuy nhiên, lưu ý rằng chúng tôi không biết cách chứng minh các giả định trong trường hợp trung bình và chúng tôi có một số bằng chứng cho thấy chúng tôi sẽ không thể chứng minh chúng dựa trên các giả định độ cứng NP tiêu chuẩn (xem bài viết của Feigenbaum-Fortnow, Bogdanov-Trevisan, v.v.).