Kết quả giới hạn / độ cứng tương đương ồn (Lwe)

Một số nền tảng:

Tôi quan tâm đến việc tìm kiếm các giới hạn thấp hơn (ít được biết đến hơn) (hoặc kết quả độ cứng) cho vấn đề Học với Lỗi (Lwe) và khái quát hóa như Học với Lỗi trên Nhẫn. Đối với các định nghĩa cụ thể, v.v., đây là một khảo sát hay của Regev: http://www.cims.nyu.edu/~regev/ con / lwesurvey.pdf

Loại giả định tiêu chuẩn (R) Lwe là thông qua giảm (có lẽ, lượng tử) thành Bài toán vectơ ngắn nhất trên các mạng (có lẽ, lý tưởng). Công thức thông thường của SVP được biết đến là NP-hard và nó được tin tưởng là khó gần đúng với các yếu tố đa thức nhỏ. (Liên quan: Thật khó để ước tính CVP trong phạm vi / gần như đa thức / yếu tố: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) Tôi cũng đã nghe nói về điều đó (về thuật toán lượng tử) xấp xỉ các vấn đề mạng tinh thể nhất định (như SVP) với các yếu tố gần đúng đa thức nhỏ có liên quan đến vấn đề nhóm ẩn không Abelian (được cho là khó vì lý do riêng của nó), mặc dù tôi chưa bao giờ thấy một nguồn chính thức rõ ràng nào cho việc này.

Tuy nhiên, tôi quan tâm nhiều hơn đến kết quả độ cứng (thuộc bất kỳ loại nào) do vấn đề tương đương ồn ào từ lý thuyết học tập. Đây có thể là kết quả độ cứng lớp phức tạp, giới hạn thuật toán cụ thể, giới hạn độ phức tạp mẫu hoặc thậm chí giới hạn kích thước bằng chứng (ví dụ Độ phân giải). Người ta đã biết (có lẽ, rõ ràng) rằng Lwe có thể được xem như là một sự khái quát hóa của vấn đề Parity / Learning Parity with noise (LPN), mà (từ Googling) dường như đã được sử dụng để giảm độ cứng trong các lĩnh vực như lý thuyết mã hóa và PAC học tập.

Từ việc nhìn xung quanh bản thân mình, tôi chỉ tìm thấy (nhẹ nhàng phụ thuộc) NỀN TẢNG BỀN VỮNG về vấn đề LPN, ví dụ: http://www.di.ens.fr/~lyubash/ con / parpropro.p.pdf

Câu hỏi:

Tôi biết LPN là NIỀM TIN CỨNG trong cộng đồng học tập. Câu hỏi của tôi là: Tại sao?

Có phải vì mọi người đã rất cố gắng, nhưng chưa ai tìm thấy một thuật toán tốt? Có giới hạn dưới của loại in nghiêng ở trên (hoặc những cái khác tôi bỏ qua) không?

Nếu câu trả lời rất rõ ràng, một bản tóm tắt ngắn gọn về những gì đã biết và / hoặc tài liệu tham khảo về khảo sát / ghi chú bài giảng sẽ rất tuyệt.

Nếu nhiều điều chưa biết, càng nhiều giấy tờ "hiện đại" thì càng tốt. :) (Cảm ơn trước thời hạn!)

Vấn đề LPN thực sự được cho là khó, nhưng giống như hầu hết các vấn đề chúng tôi tin là khó, lý do chính là nhiều người thông minh đã cố gắng tìm một thuật toán hiệu quả và đã thất bại.

"Bằng chứng" tốt nhất cho độ cứng của LPN đến từ thứ nguyên truy vấn thống kê cao của vấn đề tương đương. Các truy vấn thống kê nắm bắt hầu hết các thuật toán học tập đã biết, ngoại trừ loại bỏ gaussian (thất bại bất cứ khi nào có tiếng ồn), băm và các kỹ thuật tương tự như hai thuật toán này. Thật khó để thiết kế các thuật toán truy vấn không thống kê và đây là nút cổ chai chính. Bằng chứng khác về độ cứng của LPN là mối quan hệ của nó với các vấn đề khó khăn khác (như Lwe, SVP như bạn đã chỉ ra).

Đối với độ cứng SQ, đây là liên kết đến giấy của Kearns ('98).

Đối với tiến trình về giới hạn trên của vấn đề này, có một số kết quả:

• $2^N$$2^{n / \log n}$
• $O(2^{n / \log\log n})$$O(n^{1 + \epsilon})$
• $k$$\approx O(n^{0.5 k})$$O(n^k)$$O(n^k)$$\eta$$1/2$
• $\approx O(n^{0.8 k})$