Kết quả phức tạp cho các hàm đệ quy cấp dưới?

Bị thu hút bởi câu hỏi thú vị của Chris Pressey về các hàm đệ quy sơ cấp , tôi đã khám phá nhiều hơn và không thể tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi này trên web.

Các chức năng đệ quy tiểu tương ứng độc đáo cho hệ thống cấp bậc hàm mũ, $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$ .

Có vẻ như đơn giản từ định nghĩa rằng quyết định các vấn đề decidable (hạn?) Bằng cách giảm chức năng -elementary nên được chứa trong EXP, và trong thực tế trong dtime ; các hàm này cũng bị ràng buộc với các chuỗi đầu ra tuyến tính theo độ dài đầu vào của chúng [1]. $(2^{O(n)})$

Nhưng mặt khác, tôi không thấy bất kỳ giới hạn dưới rõ ràng nào; Thoạt nhìn có vẻ như có thể hiểu được rằng LOWER-Classified có thể chứa NP, hoặc có thể không chứa một số vấn đề trong P, hoặc rất có thể là một số khả năng mà tôi chưa tưởng tượng ra. Sẽ thật tuyệt vời nếu LOWER-Classified = NP nhưng tôi cho rằng đó là quá nhiều để yêu cầu.

Vì vậy, câu hỏi của tôi:

Là sự hiểu biết của tôi cho đến nay là chính xác?
Những gì được biết về các lớp phức tạp ràng buộc các hàm đệ quy cơ bản thấp hơn?
(Phần thưởng) Chúng ta có bất kỳ đặc tính lớp phức tạp đẹp nào khi thực hiện các hạn chế hơn nữa đối với các hàm đệ quy không? Tôi đã suy nghĩ cụ thể về việc hạn chế các tổng kết có liên quan đến , mà tôi nghĩ rằng chạy trong thời gian đa thức và tạo ra đầu ra tuyến tính; hoặc các tổng kết có giới hạn không đổi, mà tôi nghĩ là chạy trong thời gian đa thức và tạo ra đầu ra có độ dài tối đa . $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]: Chúng tôi có thể chỉ ra (tôi tin) rằng các hàm cơ bản thấp hơn phải chịu những hạn chế này bằng cảm ứng cấu trúc, giả sử rằng các hàm có độ phức tạp và đầu ra của bitlength trên đầu vào có độ dài . Khi , cho , mỗi có đầu ra có độ dài , vì vậy có - chiều dài đầu vào (và do đó đầu dài); độ phức tạp của tính toán tất cả s là và của là $h,g_1,\dots,g_m$ $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ , vì vậy có độ phức tạp và đầu ra có độ dài như được yêu cầu. $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

Khi , s có đầu ra có độ dài , vì vậy giá trị của tổng đầu ra là , vì vậy tổng của chúng có độ dài . Độ phức tạp của việc tính tổng các giá trị này được giới hạn bởi (số lần tính tổng) lần (độ phức tạp của mỗi phép cộng) tạo ra và độ phức tạp của việc tính toán các đầu ra bị giới hạn bởi (số lần tính toán) lần (độ phức tạp của từng cái), cho . Vậy có độ phức tạp $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ và đầu ra của chiều dài theo yêu cầu. $O(n)$

— sử dụng
nguồn

Bài viết Wikipedia mà bạn liên kết với các trạng thái rằng các hàm cơ bản thấp hơn có sự tăng trưởng đa thức (nhưng nó không có tham chiếu.) Cho thấy một vấn đề hoàn chỉnh P có thể hoặc không thể giải quyết bằng các hàm cơ bản sẽ là một bước tốt để ghim nó xuống hơn nữa. Không thể mô phỏng máy Turing trong n bước - có thể là một tổng giới hạn tương ứng với số bước của một tổng giới hạn khác tương ứng với mỗi lần chuyển trạng thái?

— Chris Pressey

@Chris - Tôi đoán là "tăng trưởng đa thức" đề cập đến số lượng bit trong đầu ra không nhiều hơn tuyến tính về số lượng bit trong đầu vào. Tôi đồng ý rằng mô phỏng có vẻ rất hợp lý và dường như có thể thực hiện được trong thời gian đa thức (nhưng có thể lấy một số chi tiết để xác minh điều này!).

— usul

Xin lỗi, phần đầu tiên đó có thể không rõ ràng, nhưng đó là vì sau đó trên đầu vào của giá trị

, đầu ra có giá trị nhiều nhất là đa thức trong

x

$x$

x

$x$

— usul

Liên quan đến câu hỏi 3: các hàm có thể xác định trong biến thể có tổng kết theo

đều có trong đồng phục lớp phức tạp

. Với tổng cộng giới hạn không đổi, bạn có được một lớp con của đồng phục

\log (x)

$\log(x)$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen

@Xoff Tôi tin rằng đó là tất cả trong phép tính tổng: Chúng tôi đang tổng hợp từ

đến

, trong đó (trên một đầu vào của

bit)

có thể có kích thước

, vì vậy số tiền chúng tôi sẽ có

lần so với kích thước của mỗi summand.

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul

Liên quan đến (phần thưởng) câu hỏi 3: các hàm có thể xác định trong biến thể có tổng kết liên kết với đều có trong đồng phục lớp phức tạp . Điều này diễn ra sau khi xây dựng tại Chandra, Stockmeyer và Vishkin "Giảm độ sâu không đổi", SIAM J. Comput. 13 (1984) cho thấy tổng số của bit mỗi bit có thể được tính bằng các mạch độ sâu không đổi kích thước poynomial với các cổng đa số. $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$

Với tổng cộng giới hạn không đổi, bạn có được một lớp con của đồng phục . Tổng kết giới hạn không đổi có thể được giảm xuống thành phép cộng và thành phần, và phép cộng có thể được tính bằng các mạch boolean có độ sâu không đổi bằng phương pháp carry-lookahead. $\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen
nguồn

"Các hàm cơ bản thấp hơn nằm trong EXP " là chính xác. Thực tế chúng ở DPSPACE ( n ); như có thể được nhìn thấy từ cảm ứng cấu trúc.
Nó được chỉ ra ở đây [1] rằng SAT thỏa mãn Boolean nằm ở mức thấp nhất E ₀ của Hệ thống phân cấp Grzegorchot, nghĩa là với đệ quy giới hạn thay vì tổng kết giới hạn.

[1] Cristian Grozea: NP dự đoán tính toán ở cấp độ yếu nhất của hệ thống phân cấp Grzegorczyck (sic!). Tạp chí Automata, Ngôn ngữ và Kết hợp 9 (2/3) : 269-279 (2004).

Ý tưởng cơ bản là mã hóa công thức đã cho có độ dài nhị phân n thành một số nguyên N có giá trị xấp xỉ theo hàm mũ theo n ; và sau đó thể hiện sự tồn tại của một bài tập thỏa mãn về mặt định lượng giới hạn bởi N (chứ không phải n ).

Phương pháp này dường như chuyển từ E ₀ sang Hạ tiểu học
(và tổng quát hóa từ SAT sang QBF _k cho _k tùy ý nhưng cố định k ).

Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là E ₀ có chứa NP (hoặc thậm chí P cho vấn đề đó), bởi vì các tính toán đa thời gian được biết là rời khỏi E ₂ .

— Martin Ziegler
nguồn