tính tự động trong các tiện ích Cai-Furer-Immerman

Trong ví dụ truy cập nổi tiếng về phương pháp đẳng cấu đồ thị thông qua phương pháp Weisfeiler-Lehman (WL), tiện ích sau đây được xây dựng trong bài báo này của Cai, Furer và Immerman. Chúng xây dựng đồ thị được cho bởi$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

Một trong những bổ đề trong bài báo (bổ đề 3.1 trang 6) nói rằng nếu chúng ta tô màu các đỉnh và b i bằng màu i thì | A u t ( X k ) | = 2 k - 1 (màu phải được bảo quản theo các automorphism) trong đó mỗi automorphism tương ứng với hoán đổi một i và b i cho mỗi i trong một số tập con S của { 1 , 2 , ... , k $a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$của cardinality thậm chí. Họ nói rằng bằng chứng là ngay lập tức. Nhưng tôi không thấy làm thế nào ngay cả trong trường hợp . Trong X 2 ( một 1 , m { 1 , 2 } ) là một cạnh nhưng nếu chúng ta có automorphism mà giao một 1 , b 1 và một 2 , b 2 mép trên được chuyển thành ( b 1 , m { 1 , 2 }$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$$(b_1, m_{\{1,2\}})$mà không phải là một cạnh. Vì vậy, đó không phải là một sự tự động.

Tôi muốn hiểu sự hiểu lầm của tôi là gì.

Bạn đang thiếu các emptyset được kết nối với tất cả b 's. Để có được tính tự động, bạn chọn một tập hợp con T ⊆ { 1 , . . . , k } của cardinality chẵn và sau đó hoán đổi a i với b i cho mỗi i ∈ T và sau đó điều chỉnh các tập hợp ở giữa. Trong ví dụ của bạn, đồ thị là ( a 1 , { 12 } ) , ( a 2 , { 12 } ) $\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

Tuy nhiên trong ví dụ của bạn nếu bạn không cần phải làm bất cứ điều gì và nếu T = { 1 , 2 } các automorphism được đưa ra bằng cách trao đổi một 1 với b 1 , một 2 với b 2 và { 1 , 2 } với ∅ .$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

Bây giờ đối với trường hợp chung, chúng ta cần chỉ ra rằng luôn có cách điều chỉnh các đỉnh giữa. Chúng tôi biết rằng thậm chí còn có cardinality. Vậy hãy để | T | = 2 r . Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng sự tự động như vậy tồn tại nếu | T | = 2 vì nếu không thì chúng ta có thể áp dụng các thành phần của r tự đẳng tương ứng với phân vùng T vào r tập con của kích thước 2 . Do đó giả sử T = { i , j } . Sau đó, tính tự động hoán đổi một i với$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$ , một j với b j , mỗi đỉnh giữa S mà S ∩ { i , j } = ∅ với đỉnh giữa S ∪ { i , j } (điều này có thể được nhìn thấy trong ví dụ của bạn), và mỗi tập con S như vậy rằng S ∩ { i , j } = { i } với tập hợp con sao cho S ∩ { i , j $b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$ (Điều này bạn có thể thấy với k = 3 ). Chú ý rằng quá trình trao đổi này là một automorphism vì đối với một chỉ số p ≠ { i , j } mối quan hệ cạnh giữa một p , b p và những đỉnh hoán đổi là hoàn toàn được bảo quản, và rõ ràng mối quan hệ cạnh giữa một tôi , một j , b i , b j được điều chỉnh đúng.$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

Cuối cùng để thấy rằng đây là những biến dạng tự động duy nhất có thể, lưu ý rằng mỗi được tô màu với màu riêng của nó. Vì vậy, chúng không thể được ánh xạ tới một cặp khác a j , b j . Cũng thông báo rằng nó không phải là có thể có một automorphism mà các bản đồ một đỉnh giữa để một đỉnh trung bình mà không trao đổi một số một tôi với một số b j . $a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$