Là đủ để các ràng buộc chương trình tuyến tính được thỏa mãn trong kỳ vọng?

Trong bài viết Phân tích ngẫu nhiên Primal-Dual của RANKING cho Kết hợp Bipartite trực tuyến , đồng thời chứng minh rằng thuật toán RANKING là , các tác giả cho thấy rằng kép là khả thi trong kỳ vọng (xem Bổ đề 3 trên trang 5). Câu hỏi của tôi là:$\left(1 - \frac{1}{e}\right)$

Là đủ để các ràng buộc chương trình tuyến tính được thỏa mãn trong kỳ vọng?

Đó là một điều để chỉ ra rằng giá trị mong đợi của hàm mục tiêu là một cái gì đó. Nhưng nếu các ràng buộc về tính khả thi được thỏa mãn trong kỳ vọng, không có gì đảm bảo rằng nó sẽ được thỏa mãn trong một lần chạy nhất định. Hơn nữa, có nhiều hạn chế như vậy. Vì vậy, đảm bảo rằng TẤT CẢ chúng sẽ được thỏa mãn trong một lần chạy nhất định là gì?

Tôi nghĩ rằng khó khăn là từ ngữ này hơi sai lệch; khi chúng nêu rõ hơn trong phần Giới thiệu (1.2), "các giá trị dự kiến ​​của các biến kép tạo thành một giải pháp kép khả thi".

Đối với mọi cài đặt cố định của các biến kép , chúng tôi thu được một số giải pháp nguyên thủy của giá trị f ( X ) và một giải pháp kép của giá trị $X$$f(X)$. (Cái kép là không khả thi trong một số trường hợp này, nhưng điều đó tốt.)$\frac{e}{e-1}f(X)$

Vì vậy, giá trị mong đợi của số nguyên tố trên tất cả các lần chạy của thuật toán là . Nhưng E [ X ] là một giải pháp khả thi kép, vì vậy tồn tại một giải pháp kép có giá trị $E[f(X)]$$E[X]$. Thủ thuật chính làf(X)là tuyến tính trong các biến képX: Trên thực tế, ở đây các biến kép làαivàβj, và mỗi khớp của đỉnhivớijcộng tổng cộng(e-$\frac{e}{e-1}f(E[X])$$f(X)$$X$$\alpha_i$$\beta_j$$i$$j$với mục tiêu nguyên thủy. VậyE[f(X)]=f(E[X])và kết luận sau.$\left(\frac{e-1}{e}\right)(\alpha_i + \beta_j)$$E[f(X)] = f(E[X])$

(Như một ghi chú bên lề, tôi cảm thấy rằng, vì điểm này là một trong những trọng tâm chính của bài báo của họ (theo bản tóm tắt), sẽ tốt hơn nếu họ giải thích điểm này! tôi và tôi muốn tìm hiểu khi nào nó đúng hơn nói chung.)