Các yếu tố tối thiểu của một vị từ đơn điệu so với lũy thừa

Xét một vị từ đơn điệu trên lũy thừa (đặt hàng bằng cách đưa vào). Bằng cách "đơn điệu" Ý tôi là: sao cho , nếu thì . Tôi đang tìm kiếm một thuật toán để tìm tất cả các phần tử tối thiểu của , tức là sao cho $P$ $2^{|n|}$ $\forall x, y \in 2^{|n|}$ $x \subset y$ $P(x)$ $P(y)$ $P$ $x \in 2^{|n|}$ $P(x)$ nhưng , . Vì chiều rộng của là $\forall y \subset x$ $\neg P(y)$ $2^{|n|}$ , có thể có nhiều yếu tố tối thiểu theo cấp số nhân, và do đó thời gian chạy của thuật toán như vậy có thể nói chung theo cấp số nhân. Tuy nhiên, có thể tồn tại một thuật toán cho nhiệm vụ này là đa thức về kích thước của đầu ra không? $n \choose n/2$

[Bối cảnh: Một câu hỏi tổng quát hơn đã được hỏi nhưng không có nỗ lực nào trong các câu trả lời để đánh giá mức độ phức tạp của thuật toán trong kích thước của đầu ra. Ví dụ, nếu tôi giả sử rằng chỉ có một yếu tố tối thiểu, thì tôi có thể thực hiện tìm kiếm nhị phân theo câu trả lời này và tìm thấy nó. Tuy nhiên, nếu tôi muốn tiếp tục tìm kiếm các yếu tố tối thiểu hơn, tôi cần duy trì thông tin hiện tại tôi có về theo cách có thể dễ dàng tiếp tục tìm kiếm mà không lãng phí thời gian vào những gì đã biết. Có thể làm điều này và tìm tất cả các phần tử tối thiểu trong thời gian đa thức theo kích thước của đầu ra không?] $P$

Lý tưởng nhất, tôi muốn hiểu nếu điều này có thể được thực hiện với các DAG nói chung, nhưng tôi đã không biết cách trả lời câu hỏi cho . $2^{|n|}$

— a3nm
nguồn

Quyền hạn

ra lệnh bằng cách hòa nhập là một DAG (với các bộ phận khác nhau của

như đỉnh và một cạnh giữa các cặp vợ chồng của các bộ phận được bao gồm trong một khác, chỉ giữ lại giảm bắc cầu của biểu đồ này để loại bỏ các cạnh dư thừa ngụ ý bằng độ xuyên sáng). Có vẻ tự nhiên khi đặt câu hỏi tương tự về các DAG tùy ý.

2^{| n |}

$2^{|n|}$

{1, . . ., n}

$\{1, ..., n\}$

— a3nm

Vấn đề của bạn được biết đến trong tài liệu học tập là "học các hàm đơn điệu bằng các truy vấn thành viên". Một lớp các hàm đơn điệu mà người ta có thể xác định tất cả các minterms được gọi là "có thể học được bằng cách sử dụng các truy vấn thành viên".

Có vẻ như sự tồn tại của thuật toán thời gian đa thức vẫn đang mở. Schmulevich và cộng sự. chứng minh rằng "Hầu như tất cả các hàm Boolean đơn điệu đều có thể học được bằng cách sử dụng các truy vấn thành viên". Nếu chúng ta cũng yêu cầu minterm được tạo ra trong đa thức thời gian trong và , thì vấn đề tương đương với sự đối ngẫu đơn điệu, như được hiển thị bởi Bioch và Ibaraki . Dưới đây là một cuộc khảo sát giải quyết vấn đề kép đơn điệu. $t$ $n$ $t$

— Yuval Filmus
nguồn

Cảm ơn câu trả lời cực kỳ hữu ích này. Bạn có biết về việc khái quát hóa các DAG tùy ý (nghĩa là nhiều hơn các trường hợp đặc biệt trong phần 5.2 của Eiter và cộng sự) không?

— a3nm

Không, tiếc là không.

— Yuval Filmus

P

$P$

n

$n$

n

$n$

Xem câu hỏi khác của tôi cstheory.stackexchange.com/q/16258/4795 để biết thông tin về độ phức tạp của truy vấn trong trường hợp xấu nhất toàn cầu đối với các DAG tùy ý.

— a3nm

tái kép đơn điệu (CNF ← → DNF) & DAGs. Nghe có vẻ giống như một định lý từ juknas cuốn sách hàm boolean độ phức tạp 9,4. "tiêu chí giới hạn dưới" thm 9.17

— vzn