Bộ nhỏ nhất không có trong bộ sưu tập

Được đưa vào làm đầu vào một số nguyên và một tập hợp gồm các phần tử của \ {1, ..., n \} , độ phức tạp của việc tìm một tập hợp T các phần tử của \ {1, ..., n \} sao cho T có cardinality tối thiểu và T được bao gồm trong không có bộ S nào?$n$$S$T { 1 , . . . , n } T T $\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

Đặt $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$ và để $\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$ là đầu vào bộ gia đình. Trừ khi tôi hiểu nhầm công thức vấn đề của bạn, chúng tôi muốn tìm một bộ kích thước tối thiểu $T \subseteq [n]$ sao cho $T \not\subseteq S_i$ cho tất cả $i = 1, 2, \dotsc, m$ .

Để trả lời câu hỏi của bạn, lưu ý rằng $T \not\subseteq S_i$ khi và chỉ khi $T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$ . Nghĩa là, $T$ phải cắt phần bù của mỗi $S_i$ . Nhưng điều này có nghĩa là về cơ bản, vấn đề của bạn tương đương với vấn đề tập hợp nhấn (xem xét việc nhấn tập hợp với đầu vào $\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$ ):

Đánh bộ. Cho một tập hợp họ $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$ và số nguyên $k$ , có tồn tại một tập hợp $T \subseteq [n]$ với $|T| \le k$ và $T \cap S \not= \emptyset$ cho tất cả $S \in \mathcal{F}$ ?

Tập đánh được biết là hoàn thành NP và không thể nói một cách lỏng lẻo, giải quyết nhanh hơn thời gian trừ khi Giả thuyết về thời gian lũy thừa mạnh thất bại.$O(2^n)$

Vấn đề tương đương với Vấn đề Đặt bìa / Vấn đề đặt bộ:

Cho một họ các tập hợp con , tìm một tập hợp có kích thước tối thiểu có thể giao với mọi tập hợp trong gia đình .{ 1 , ... , n } T ⊂ { 1 , ... , n } $\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

Vấn đề của bạn tương đương với Bài toán đánh dấu vì không nằm trong bất kỳ tập hợp nào trong khi và chỉ khi nó giao nhau với mọi tập hợp trong . (Vì vậy, để giải quyết một trường hợp của Bài toán đánh dấu, nó đủ để giải quyết trường hợp vấn đề của bạn với .)S F = { ˉ Một : Một ∈ S } S = { ˉ Một : Một ∈ F$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

Vấn đề Set Set là NP-hard [Karp '72]. Có một thuật toán xấp xỉ cho nó và độ cứng phù hợp của kết quả gần đúng [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$