Độ cứng NP của một vấn đề tối ưu hóa

Trong khi nghiên cứu một vấn đề trong lý thuyết trò chơi thuật toán, tôi đã quan tâm đến sự phức tạp của câu hỏi tối ưu hóa sau:

Vấn đề

Được:

bộ mặt đất được cung cấp bởi , $U = [n] = \{1,\ldots,n\}$ $n$
$m$ thứ hạng được đưa ra dưới dạng tổng đơn hàng trong đó ( ), $\langle S_i, \sigma_i \rangle$ $S_i \subseteq U$ $1 \leq i \leq m$
vectơ trọng số cho được cho bởi . $U$ $w \in \mathbb{R}^n$

Mục tiêu: tìm một tập hợp con tối đa hóa tổng sau: trong đó là mục được xếp hạng cao nhất trong theo . $L \subseteq U$

r (L) = = \underset{Tôi \in [m], S_{Tôi} \cap L \neq \emptyset}{Σ} w (t_{Tôi} (L))

$r(L) = \sum_{i \in [m],\ S_i \cap L \neq \emptyset} w(t_i(L))$

t_{i} (L)

$t_i(L)$

L \cap S_{i}

$L\cap S_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

Tôi nghi ngờ rằng vấn đề là -hard. Trong thực tế, vấn đề dường như khó khăn ngay cả khi tất cả các đều có kích thước . Tuy nhiên tôi đã không thể chứng minh điều này. $\mathsf{NP}$ $S_i$ $2$

Những gì tôi biết

Dễ dàng thấy rằng các hạn chế sau đây làm cho vấn đề trở nên dễ dàng:

tất cả các trọng số đều thống nhất: lựa chọn tất cả các yếu tố rõ ràng là tối ưu.
tất cả các bảng xếp hạng đều là bảng xếp hạng hoàn chỉnh so với : giải pháp tốt nhất có được bằng cách lấy phần tử có trọng số tối đa. $U$
các trọng số chỉ là nhị phân ( ), sau đó chọn tất cả các phần tử có trọng số là tối ưu. $w \in \{0,1\}^n$ $1$

Tuy nhiên, tôi không thể tìm thấy thuật toán thời gian đa thức cho trường hợp chung (ví dụ: sử dụng LP). Mặt khác, việc chứng minh vấn đề trở thành trông không dễ dàng gì. Cấu trúc của các trường hợp vấn đề không cho phép dễ dàng mã hóa các vấn đề khác. (Lưu ý rằng độ cứng của vấn đề sẽ đến từ việc sử dụng cùng một cho tất cả các đơn hàng một phần, tuy nhiên sử dụng cùng một vectơ trọng lượng cho tất cả chúng làm cho việc chứng minh độ cứng không tiến thẳng). Tôi đã không thành công khi thử giảm một số vấn đề như Subset-Sum, NAND-Circuit-SAT, v.v. thành phiên bản quyết định của vấn đề này (có một tập hợp con sao cho ). $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $r(L) \geq k$

Một IP phù hợp có thể được xây dựng yên tĩnh dễ dàng cho một trường hợp cụ thể của vấn đề, nhưng tôi không thấy bất kỳ sự tương đồng nào đủ với bất kỳ vấn đề nào tôi biết.

Câu hỏi

Bạn có biết sự phức tạp của vấn đề này? Có bất kỳ tài liệu tham khảo nghiên cứu sự phức tạp của các vấn đề tối ưu hóa tương tự? Làm thế nào bạn có thể chứng minh rằng vấn đề tối ưu hóa này là -hard? (nếu nó thực sự khó). $\mathsf{NP}$

— Joel
nguồn

Tôi nghĩ rằng giải pháp của bạn là chính xác và nếu bạn sử dụng một mẹo tương tự cho các mệnh đề, bạn thậm chí có thể giới hạn mọi Si thành 2 phần tử.

— domotorp

Vâng, đây là một giải pháp có thể:

Mức giảm sẽ từ 3SAT.

Input: DNF khoản so với biến . $m$ $(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)$ $n$ $(x_1,\ldots,x_n)$

Giảm: Tạo một bộ các hạng mục gồm hai mục cho mỗi biến: , tương ứng với một giao cho một trong hai biến hoặc phủ định của nó, cộng với một mục phụ trợ . Hãy để cho giá của tất cả các mục là , và giá của là . $x_i, \overline x_i$ $True$ $x_i$ $t$ $\{x_i,\overline x_i\}_{i=1,…,n}$ $1$ $t$ $1.5$

Tạo hai bộ người tiêu dùng:

Set 1: bảng xếp hạng Hiệu lực: thiết lập này của người tiêu dùng sẽ mã hóa các hạn chế hiệu lực vào công việc để . Cụ thể, chính xác một trong số được đặt thành (nghĩa là được thực hiện bởi thuật toán). Đối với mỗi tạo ra bốn bảng xếp hạng phần: $x_1,\ldots,x_n$ $\{x_i,\overline x_i\}$ $True$ $i=1,\ldots,n$

$\sigma_{i1}: x_i\succ t\\ \sigma_{i2}: \overline x_i \succ t \\ \sigma_{i3}: x_i \succ \overline x_i \\ \sigma_{i4}: x_i \succ \overline x_i$

Lấy không bao giờ có thể bị tổn thương, vì vậy chúng tôi cho rằng nó luôn luôn chọn. Nếu cả hai và được chọn, chúng tôi sẽ nhận được khoản hoàn trả . Nếu không ai trong số họ được chọn, chúng tôi nhận được số tiền thưởng là . Nếu một trong số họ được chọn, chúng tôi nhận được số tiền thưởng là . $t$ $x_i$ $\overline x_i$ $4$ $3$ $4.5$

Đặt 2: Bảng xếp hạng khoản. Đối với mỗi khoản có dạng , chúng tôi tạo ra một bảng xếp hạng: . Nếu được thỏa mãn, điều đó có nghĩa là ít nhất một trong số các mục tương ứng với và được chọn, điều này mang lại một khoản chi trả thêm $\varphi_j=\ell_{j1} \vee \ell_{i2} \vee \ell_{j3}$ $\sigma_j: \ell_{j1} > \ell_{j2} > \ell_{j3}$ $\varphi_j$ $\ell_{j1}, \ell_{j2}$ $\ell_{j3}$ từ xếp hạng . $1$ $\sigma_j$

Bây giờ, công thức 3CNF là thỏa đáng khi và chỉ khi có một tập hợp các mặt hàng mang lại mức chi trả là . $m+4.5n$

— Joel
nguồn