NP-đầy đủ / độ cứng có phải là xây dựng?

Có với các tính chất sau không:$L\in {\bf NP}$

1. Được biết, có nghĩa P = N P .$L\in {\bf P}$${\bf P}={\bf NP}$

2. Không có (được gọi) thời gian đa thức Turing giảm (hoặc một số khác N P vấn đề -complete) để L .$SAT$${\bf NP}$$L$

Nói cách khác, nếu thuật toán thời gian đa thức cho ngụ ý sự sụp đổ của N P thành P , thì điều cần thiết là "độ cứng chung" này của L đối với N P phải bằng cách nào đó c o n s t r u c t i v e , theo nghĩa là, S A T phải được giảm xuống L thông qua một số giảm cụ thể?$L$${\bf NP}$${\bf P}$$L$${\bf NP}$$constructive$$SAT$$L$

Có, có những tập hợp như vậy, lấy bất kỳ tập hợp Inter liền nào (bất kỳ tập hợp nào có thể chứng minh được N P -interantly giả sử P ≠ N P ), ví dụ: xây dựng một từ SAT bằng định lý Ladner.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Lưu ý rằng của bạn cần xem xét một vấn đề N P- Inter liền, vì nó nằm trong N P nhưng không hoàn thành cho nó. Cũng lưu ý rằng bạn đang giả định rằng P ≠ N P khác không có như vậy L như mọi vấn đề không tầm thường sẽ chẳng trọn vẹn cho N P nếu N P = P . Ngoài ra, các điều kiện mà bạn đưa ra không có nghĩa là tính đầy đủ, vì vậy câu hỏi trong phần đầu tiên không giống như câu hỏi về tính xây dựng của tính hoàn chỉnh.$L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$$L$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}=\mathsf{P}$

Liên quan đến câu hỏi trong tiêu đề, tức là " -hardness có phải mang tính xây dựng không?".$\mathsf{NP}$

Câu trả lời phụ thuộc vào những gì chúng ta muốn nói là "mang tính xây dựng". Về mặt kinh điển, một vấn đề quyết định được xác định là N P -hard iff$A$$\mathsf{NP}$

nghĩa là

Và theo định lý của Cook, điều này tương đương với

nghĩa là

$A$$f$

Về mặt kinh điển ngay cả khi chúng ta không có một chức năng cụ thể, có một chức năng, nói rằng không thể có chức năng nào là giảm tương đương với việc nói rằng một số chức năng là giảm. Để nói về tính xây dựng, chúng ta cần phải quan tâm nhiều hơn. Ví dụ: chúng ta có thể nói về các phát biểu có thể chứng minh được theo cách cổ điển nhưng không mang tính xây dựng (ví dụ: trực giác trong đó trạng thái kiến ​​thức toán học khác nhau có ý nghĩa, Google cho "nhà toán học lý tưởng" hoặc kiểm tra điều này ).

Theo trực giác, có vẻ hợp lý với tôi rằng chúng ta có thể chứng minh một tuyên bố như vậy bằng cách sử dụng một bằng chứng bằng mâu thuẫn và không đưa ra bất kỳ chức năng giảm rõ ràng nào. Nhưng nó sẽ không có nghĩa là không có bằng chứng xây dựng của tuyên bố. Để nói thêm rằng không có bằng chứng xây dựng tồn tại, chúng ta phải cụ thể hơn: bằng chứng trong lý thuyết / hệ thống nào? một bằng chứng xây dựng có nghĩa là gì?

$k$

"Isomorphic" khác với giảm Turing (thực tế yếu hơn đáng kể), nhưng các bộ này được chứng minh là NP-hard trực tiếp và theo như tôi biết thì không có giảm SAT. Điều đó nói rằng, theo định nghĩa về tính đầy đủ của NP, phải có một số giảm giữa hai loại, vì vậy trong khi điều này đáp ứng tiêu chí giảm "không biết" thì có thể không chính xác những gì bạn đang tìm kiếm.

[1] Joseph, D. và Young, P. Một số nhận xét về các chức năng làm chứng cho các tập hợp không đa thức và không hoàn chỉnh trong NP. Khoa học máy tính lý thuyết. quyển 39, trg 225--237. 1985. Elsevier.

Sau đây là một ví dụ cho câu hỏi trong tiêu đề. Nó được lấy từ bài báo sau: Jan Kratochvil, Petr Savicky và Zsolt Tuza. Thêm một lần xuất hiện của các biến làm cho sự thỏa mãn nhảy từ tầm thường sang hoàn thành np. Tạp chí SIAM về máy tính, 22 (1): 203 Ảo210, 1993.

Đặt f (k) là số nguyên r tối đa sao cho mọi diễn đàn k-SAT trong đó mỗi biến xảy ra ở hầu hết các lần r, đều thỏa đáng. Người ta không biết liệu f (k) có thể tính toán được hay không, mặc dù giới hạn tương đối chặt chẽ được biết đến với nó (xem H. Gebauer, R. Moser, D. Trình lập lịch biểu và E. Welzl. Bổ đề địa phương Lovasasas và Sự thỏa mãn. trang 30 bóng54, 2009.).

(k, s) -SAT là vấn đề k-SAT bị giới hạn trong diễn đàn trong đó mỗi biến xảy ra ở hầu hết các lần.

Kratochvil et al. đã chứng minh rằng (k, f (k) +1) -SAT là NP hoàn chỉnh. Lưu ý rằng (k, f (k)) - Các bài toán SAT luôn thỏa đáng (theo định nghĩa). Bản thân việc giảm là không mang tính xây dựng: lưu ý rằng việc giảm tạo ra một công thức trong đó mỗi biến xảy ra nhiều nhất là f (k) +1 lần, mặc dù f (k) không được tính toán. Ý tưởng không mang tính xây dựng chính là mặc dù giá trị f (k) không xác định, vẫn tồn tại một công thức (k, f (k) +1) -SAT không thỏa mãn và họ điều khiển công thức đó theo nhu cầu của họ .

Agrawal và Biswas đã trình bày một ngôn ngữ hoàn chỉnh NP mà không có sự giảm Karp hay Cook nào được biết đến. Bằng chứng về sự hoàn chỉnh theo sau bởi vì mối quan hệ nhân chứng của nó là phổ quát (mối quan hệ nhân chứng có sự tham gia bắt buộc và các toán tử tương đương cần thiết để trở thành phổ quát). Ngôn ngữ được đưa ra trong phần 6.3 trong tài liệu tham khảo.

M.Agrawal, S.Biswas, Quan hệ phổ biến trong thủ tục Cấu trúc hội nghị của IEEE trong lý thuyết phức tạp (1992), trang 207 phản 220.