Tại sao tính ngẫu nhiên có tác dụng mạnh hơn đối với việc giảm hơn so với thuật toán?

Người ta phỏng đoán rằng tính ngẫu nhiên không mở rộng sức mạnh của thuật toán thời gian đa thức, nghĩa là, được phỏng đoán để giữ. Mặt khác, tính ngẫu nhiên dường như có tác động khá khác nhau trong việc giảm thời gian đa thức . Theo kết quả nổi tiếng của Valiant và Vazirani, S A T giảm xuống U S A T thông qua việc giảm thời gian đa thức ngẫu nhiên. Không có khả năng việc giảm có thể bị bỏ qua, vì nó sẽ mang lại N P = U P , điều này được cho là không thể.${\bf P}={\bf BPP}$$SAT$$USAT$${\bf NP}={\bf UP}$

Tôi tự hỏi, điều gì có thể là lý do cho tình huống bất đối xứng này: sự khử cộng đồng dường như hoàn toàn có thể xảy ra trong các thuật toán thời gian đa thức xác suất, nhưng không phải là giảm thời gian đa thức xác suất?

Đầu tiên, hãy để tôi nhận xét về trường hợp cụ thể của việc giảm Valiant-Vazirani; Điều này sẽ, tôi hy vọng, sẽ giúp làm rõ tình hình chung.

Việc giảm Valiant-Vazirani có thể được xem / định nghĩa theo nhiều cách. Mức giảm này là "cố gắng" để ánh xạ một satisfiable thức Boolean để một độc đáo-satisfiable F ' , và không thể thoả mãn F đến một không thể thoả mãn F ' . Tất cả các công thức đầu ra luôn thu được bằng cách hạn chế thêm F , do đó, không thỏa mãn luôn được giữ nguyên. Việc giảm có thể được định nghĩa hoặc là xuất ra một đơn F ' , hoặc là xuất ra một danh sách các F ' 1 , ... , F ' t . Trong trường hợp sau, "thành công" trong trường hợp F $F$$F'$$F$$F'$$F$$F'$$F'_1, \ldots, F'_t$ được định nghĩa là cóít nhất một F ′ i thỏa đáng duy nhấttrong danh sách. Gọi hai biến thể này là "giảm đơn" và "giảm danh sách" tương ứng (đây không phải là thuật ngữ chuẩn).$F \in SAT$$F'_i$

Điểm đầu tiên cần lưu ý là xác suất thành công trong việc giảm đơn lẻ là khá nhỏ, cụ thể là trong đó n là số lượng biến. Những khó khăn trong việc cải thiện xác suất thành công này được khám phá trong bài báo$\Theta(1/n)$$n$

"Xác suất cách ly của Valiant-Vazirani có thể cải thiện được không?" bởi Dell và cộng sự.

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/151/#revision1

Trong danh sách giảm, xác suất thành công có thể được thực hiện lớn, , với danh sách kích thước poly ( n ) . (Chẳng hạn, người ta có thể lặp lại việc giảm đơn lẻ nhiều lần.)$1 - 2^{-n}$$(n)$

Bây giờ, không có gì là hiển nhiên hay trực quan mà chúng ta có thể trực tiếp tạo ra sự giảm thiểu chỉ giảm có xác suất thành công . Thật vậy, không có kết quả độ cứng so với ngẫu nhiên nào đưa ra các giả thuyết mà theo đó chúng ta có thể làm như vậy trong trường hợp này. Điều hợp lý hơn nhiều là việc giảm danh sách có thể bị bỏ qua (với danh sách lớn hơn một chút). Lưu ý rằng điều này sẽ không ngụ ý N P = U P : danh sách các công thức đầu ra của chúng tôi có thể có nhiều công thức duy nhất thỏa mãn và có lẽ một số có nhiều bài tập thỏa mãn và dường như vô vọng khi cố gắng xác định một tính toán chấp nhận duy nhất trên một tính toán như vậy danh sách. $1/n$$NP = UP$

Thậm chí nếu chúng tôi bằng cách nào đó có thể cung cấp một danh sách giảm trong đó một satisfiable luôn luôn gây ra một danh sách F ' 1 , ... , F ' t nơi nhất của F ' j 's là duy nhất satisfiable, không có cách nào rõ ràng để biến thành mà một giảm đơn lẻ xác định cho sự cô lập. Khó khăn tiềm ẩn thực sự là chúng ta không biết về bất kỳ "hoạt động đa số gần đúng nào cho các công thức thỏa mãn duy nhất", nghĩa là, giảm R ( F ′ 1 , Lỗi , F ′ t$F$$F'_1, \ldots, F'_t$$F'_j$$R(F'_1, \ldots, F'_t)$sản lượng mà là duy nhất satisfiable nếu hầu hết 's là duy nhất satisfiable, và không thỏa mãn nếu hầu hết F ' j ' s là không thể thoả mãn. Đây cũng có vẻ là một hiện tượng chung: giảm sản lượng các đối tượng phức tạp hơn thuật toán quyết định và các thuộc tính của các đối tượng này khó kiểm tra hơn, do đó khó kết hợp nhiều đối tượng này thành một đối tượng duy nhất thừa hưởng một số thuộc tính.$F'_j$$F'_j$

Đối với trường hợp Valiant-Vazirani, dường như thậm chí không có khả năng theo các giả định khử cực hợp lý mà chúng ta có thể có được , nghĩa là, có thể giảm các công thức thỏa đáng thành các công thức thỏa đáng với ≤ poly ( n ) các giải pháp. Theo trực giác, điều này xuất phát từ thực tế là quy trình cách ly không có ý tưởng nào về kích thước thô của bộ giải pháp của công thức F được đưa ra.$NP = FewP$$\leq$$(n)$$F$

Trong thế giới tiên tri, thật dễ dàng để đưa ra các ví dụ trong đó sự ngẫu nhiên mang lại cho chúng ta nhiều sức mạnh hơn. Ví dụ, xem xét vấn đề tìm số 0 của hàm Boolean cân bằng. Một thuật toán ngẫu nhiên thực hiện việc sử dụng các truy vấn với xác suất thành công không đổi, trong khi bất kỳ thuật toán xác định nào cũng yêu cầu ít nhất n / 2 truy vấn.$O(1)$$n/2$

Đây là một tình huống khác mà người ta nghi ngờ rằng ngẫu nhiên sẽ giúp. Giả sử chúng ta muốn tối đa hóa một chức năng mô đun đơn điệu trên một ràng buộc matroid. Có hai thuật toán khác nhau cho phép xấp xỉ và điều này là tối ưu trong mô hình này do kết quả của Vondrák. Cả hai thuật toán đều cần tính một hàm có dạng E x ∼ X f ( x ) , trong đó $1-1/e$$\mathbb{E}_{x \sim X} f(x)$$X$là một phân phối với sự hỗ trợ theo cấp số nhân. Tính toán chính xác chức năng này là quá tốn kém, nhưng nó có thể được xấp xỉ bằng cách lấy mẫu và kết quả là một thuật toán ngẫu nhiên. Ngược lại, các thuật toán xác định nổi tiếng nhất, thuật toán tham lam, đưa ra một xấp xỉ.$1/2$

Một tình huống tương tự xảy ra trong tối đa hóa mô đun con không giới hạn (ở đây hàm không nhất thiết là đơn điệu). Các thuật toán mang tính đột phá gần đây đưa ra một tối ưu xấp xỉ, nhưng phiên bản xác định của nó cho phép chỉ một 1 / 3 xấp xỉ. Ở đây, sự ngẫu nhiên thể hiện chính nó theo cách chính xác giống như trong trường hợp đơn điệu, hoặc (trong một phiên bản khác của thuật toán) bằng cách thực hiện một vài lựa chọn ngẫu nhiên trên đường đi.$1/2$$1/3$

Một trong những tác giả của các phỏng đoán giấy sau đó là tốt nhất mà một thuật toán xác định có thể đạt được, và chúng ta có thể tương tự như phỏng đoán rằng 1 / 2 là tốt nhất có thể đạt được trong vấn đề trước. Nếu những phỏng đoán này là đúng, thì đây là một tình huống rất tự nhiên trong đó ngẫu nhiên có thể giúp ích.$1/3$$1/2$

Gần đây, Dobzinski và Vondrák đã chỉ ra cách biến đổi giá trị giới hạn dưới (đối với thuật toán ngẫu nhiên) thành kết quả độ cứng, có điều kiện trên NP khác với RP (thành phần chính là giải mã danh sách). Chúng ta nên đề cập rằng việc chuyển đổi phụ thuộc vào phương pháp cụ thể được sử dụng để chứng minh giới hạn dưới của nhà tiên tri. Có lẽ đúng là giá trị xác định giới hạn thấp hơn cũng chuyển thành kết quả độ cứng.

Một lý do tại sao nó có vẻ lạ đối với bạn, rằng chúng tôi dường như nghĩ rằng có sức mạnh rõ ràng hơn (hoặc được phỏng đoán) trong việc giảm ngẫu nhiên từ đến U P so với năng lực so sánh từ B P P đến P , là bởi vì bạn có thể mong muốn nghĩ về tính ngẫu nhiên như một thứ gì đó mạnh mẽ (hoặc không mạnh mẽ) độc lập với "cỗ máy" mà bạn thêm vào (nếu chúng ta biếm họa các lớp phức tạp này như các lớp phát sinh từ các mô hình máy).$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

Tuy nhiên, những giảm sức mạnh khác nhau tồn tại. Trong thực tế, một tài nguyên tính toán như tính ngẫu nhiên không nhất thiết phải có một lượng sức mạnh tính toán cố định, là "đáng kể" hoặc "không đáng kể".

$\mathsf L$$\mathsf P$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

$\mathsf M$$\mathsf C$$\mathsf C$$\mathsf M$

Lý do tại sao tôi mô tả điều này theo các lớp thấp đối với bản thân họ là vì nếu chúng ta nghiêm túc rằng họ là "mô hình tính toán có thể có ở một thế giới khác", câu hỏi của bạn về việc giảm ngẫu nhiên tương ứng với thực tế là có vẻ ngẫu nhiên làm tăng đáng kể sức mạnh của một số mô hình nhưng không phải là những người khác .

$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} \subseteq \Sigma^{\mathsf p}_2 \cap \Delta^{\mathsf p}_2$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

$\mathsf{PH}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{BPP} \approx \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$không phải là "ngẫu nhiên không có sức mạnh", nhưng điều đó ngẫu nhiên một mình (hay đúng hơn, chỉ bổ sung bằng các tính toán thời gian đa thức và cung cấp cho một mô hình tính toán khác xác định) không phải là mạnh mẽ. Nhưng điều này không có nghĩa là không thể có sức mạnh trong sự ngẫu nhiên, mà có thể được xúc tác bởi các tài nguyên tính toán khác.