Các khu phố ấm cúng của làng Piên và của NP

Đặt là một nhiệm vụ thuật toán. (Nó có thể là một vấn đề quyết định hoặc một vấn đề tối ưu hóa hoặc bất kỳ nhiệm vụ nào khác.) Chúng ta hãy gọi "về phía đa thức" nếu giả sử rằng là NP-hard được biết là ngụ ý rằng chế độ đa thức sụp đổ. Chúng ta hãy gọi "về phía NP" nếu giả sử rằng thừa nhận thuật toán đa thức được biết là ngụ ý rằng hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ.X X X $X$$X$$X$$X$$X$

Tất nhiên, mọi vấn đề trong P đều thuộc về đa thức và mọi vấn đề thuộc NP-hard đều nằm ở phía NP. Ngoài ra, ví dụ, bao thanh toán (hoặc bất cứ thứ gì trong NP giao cắt coNP) nằm ở phía đa thức. Đồ thị đẳng cấu nằm ở phía đa thức. QUANTUM-SAMPLING nằm ở phía NP.

1) Tôi quan tâm đến nhiều ví dụ (càng tự nhiên càng tốt) về các nhiệm vụ algoritmic ở phía đa thức và (đặc biệt) trong các ví dụ khác ở phía NP.

2) Rõ ràng bên NP là một "khu phố" của các vấn đề NP-hard và bên P là "khu phố của P". Đây có phải là một cái nhìn sâu sắc chính xác khi coi các vấn đề ở phía NP là "khó khăn hơn đáng kể" so với các vấn đề ở phía P. Hoặc thậm chí coi các vấn đề ở phía NP là "NP-cứng về mặt đạo đức?"

3) (Điều này có thể rõ ràng nhưng tôi không thấy điều đó) Có ở cả hai bên hay có lý do lý thuyết nào để tin rằng như vậy là không thể. Cập nhật Câu trả lời là CÓ; xem câu trả lời của Yuval Filmus bên dưới.$X$$X$

(Nếu các "bên" này có liên quan đến các lớp phức tạp thực tế và nếu tôi bỏ lỡ một số biệt ngữ cc có liên quan hoặc kết quả có liên quan, vui lòng cho tôi biết.)

Cập nhật:Hiện tại có một số câu trả lời rất tốt cho câu hỏi. Như Yuval Filmus đã lưu ý đầu tiên và đề cập lại câu hỏi không chính thức và một số hạn chế đối với lập luận cho thấy X ở phía P / NP là cần thiết. (Mặt khác, bạn có thể có X là nhiệm vụ đưa ra bằng chứng cho 0 = 1 ở cả hai bên.) Đặt điều này sang một bên, có thể là vấn đề X (thực sự) ở phía NP bắt được độ cứng bằng cách nào đó của SAT, mặc dù điều này cũng có thể là trường hợp đối với một số vấn đề ở phía P nơi độ cứng của SAT bị suy yếu (thậm chí là một chút) theo cách có thể chứng minh được. Yuval Filmus đã đưa ra một phiên bản SAT yếu ở cả hai phía. Andy Drucker đã đưa ra (trong hai câu trả lời) năm ví dụ thú vị bao gồm một tham chiếu đến hệ thống phân cấp Thấp và Cao của Schöning, và Scott Aaronson đã đưa ra các ví dụ thú vị hơn nữa, đã đề cập đến câu hỏi về việc đảo ngược hàm một chiều gần với độ cứng NP và bên phía P, và câu trả lời của anh ta cũng thảo luận về trường hợp thú vị của QUANTUMSAMPLING. Tôi đã gặp một kết quả cũ của loại này bởi Feige và Lund.

Chính các thuật ngữ "về phía P" và "về phía NP", và tất nhiên là tiêu đề câu hỏi, khuyến khích chúng ta tưởng tượng một "khu phố ấm cúng" xung quanh P và một "khu phố ấm cúng" khác xung quanh các vấn đề khó khăn của NP. Tuy nhiên, tôi muốn tranh luận rằng hai khu phố này hoàn toàn không "ấm cúng"!

Theo quan sát đầu tiên, có những vấn đề "về phía P" có vẻ "đạo đức" gần với NP-hard hơn P. Một ví dụ, được Gil dự đoán, tất nhiên, là vấn đề chung của việc đảo ngược các chức năng một chiều ( tùy thuộc vào chính xác loại giảm được cho phép, xem Bogdanov-Trevisan hoặc Akavia và cộng sự).

Ngược lại, cũng có những vấn đề "về phía NP" có vẻ như "tùy tiện xa" so với NP-hard. Một ví dụ ngớ ngẩn là một ngôn ngữ ngẫu nhiên L, với xác suất 1 trên L! Vì nếu một L như vậy nằm trong P, thì 0 = 1 và toán học không nhất quán, và do đó PH cũng sụp đổ. ;-D

(Lưu ý rằng một ngôn ngữ ngẫu nhiên L cũng "ở phía P", với xác suất 1 trên L. Đối với hầu hết tất cả các L như vậy đều có thuộc tính nếu chúng là NP-hard, thì NP⊆BPP và PH sụp đổ. Và điều này đưa ra một bằng chứng, đơn giản hơn nhiều so với sự hấp dẫn của Định lý Ladner, rằng có các ngôn ngữ tồn tại ở cả hai "mặt". Thật vậy, nó cho thấy sự vô hạn của ngôn ngữ, "gần như tất cả" trong số chúng - thực tế là 100% - ở cả hai phía!)

Điều này nghe có vẻ như chơi trò chơi vị thành niên, nhưng có một bài học nghiêm túc tôi muốn rút ra từ nó. Tôi lập luận rằng, mặc dù QUANTUM SAMPLING chính thức là "về phía NP", vấn đề đó gần như không phải là "NP-cứng về mặt đạo đức" so với ngôn ngữ ngẫu nhiên L là. Arkhipov và tôi (và độc lập, Bremner-Jozsa-Shepherd) đã chỉ ra rằng, nếu QUANTUM SAMPLING nằm trong P (hay đúng hơn là trong SampBPP, lớp các vấn đề lấy mẫu có thể giải quyết đa thức), thì P ^#P = BPP ^NP , và do đó hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ. Tuy nhiên, nếu bạn là một máy BPP, một lời tiên tri cho BosonSampling, theo như chúng tôi biết, sẽ không đưa bạn đến gần hơn để giải quyết các vấn đề hoàn chỉnh NP hơn là một lời tiên tri ngẫu nhiên. Chỉ khi bạn đã có khả năng giải quyết các vấn đề hoàn thành NP - giả sử,Máy ^NP - bạn có "để ý" rằng nhà tiên tri BosonSampling tăng khả năng của bạn hơn nữa, lên #P. Nhưng thuộc tính của việc tăng NP lên #P có vẻ khác so với, và thậm chí có thể "trực giao", thuộc tính của NP-hard đối với chính mình.

Ngẫu nhiên, một vấn đề mở tuyệt vời được đề xuất bởi câu hỏi của Gil là liệu BosonSampling cũng "ở bên P". Đó là, chúng ta có thể chỉ ra rằng nếu NP giảm xuống BosonSampling thì PH sụp đổ? Mặc dù tôi có thể đang thiếu một cái gì đó rõ ràng, nhưng thoạt nhìn tôi không biết làm thế nào để chứng minh một điều như vậy, bất kể tôi biết làm thế nào để chứng minh hàm ý mạnh mẽ hơn rằng nếu NP ⊆ BQP thì PH sụp đổ.

Hai bình luận, không phải là số tiền cho một câu trả lời, nhưng có thể cung cấp một số bài đọc thêm hữu ích.

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/tube/alacticmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Rõ ràng, không có bằng chứng xác thực nào cho thấy vấn đề này không phải là NP-hard, hay nó dễ hiểu theo bất kỳ nghĩa nào. Nhưng nó có vẻ khá khác với các vấn đề khó khăn khác trong NP. Tôi nghĩ rằng đây là một trong những ứng cử viên thú vị nhất cho các vấn đề trung gian NP, và không phải là một ứng cử viên nổi tiếng.

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/ con / 2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Trả lời câu hỏi của Bodlaender, Downey, Fellows và Hermelin, Fortnow và Santhanam đã chỉ ra rằng việc giảm nén như vậy là không thể, bởi vì nó sẽ làm sụp đổ Hệ thống phân cấp Poly:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/ con / compress.pdf

Kết quả của họ áp dụng cho việc giảm ngẫu nhiên cho phép lỗi một phía. Tôi đã chứng minh một kết quả tương ứng cho lỗi hai mặt trong

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Mỗi bài viết này thực sự cung cấp thông tin mạnh mẽ và cụ thể hơn so với kết quả được trích dẫn ở trên.)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/ con / phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Tôi đã đi qua kết quả này bởi Feige và Lund cho thấy rằng trừ khi hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ, thật khó để đoán được thông tin rất một phần về tính vĩnh viễn của ma trận ngẫu nhiên.

Uriel Feige và Carsten Lund, về độ khó của việc tính toán vĩnh viễn các ma trận ngẫu nhiên. Độ phức tạp tính toán 6 (1996/1997) 101-132.

Tôi cũng đề cập đến hai kết quả có liên quan bổ sung khiến tôi chú ý từ Uri Feige:

Hai bài báo sau đây áp dụng điều này trong bối cảnh nhân hóa (thuật toán cố định tham số cố định).

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin: Về các vấn đề không có hạt nhân đa thức. J. Tính toán. Hệ thống. Khoa học 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: Tính không khả thi của nén thể hiện và các PCP gọn gàng cho NP. J. Tính toán. Hệ thống. Khoa học 77 (1): 91-106 (2011)