Rào cản và độ phức tạp mạch đơn

Bằng chứng tự nhiên là một rào cản đối với việc chứng minh các giới hạn thấp hơn về độ phức tạp mạch của các hàm boolean. Họ không trực tiếp ngụ ý bất kỳ rào cản như vậy trong việc chứng minh các giới hạn thấp hơn về độ phức tạp mạch . Có bất kỳ tiến triển để xác định các rào cản như vậy? Có những rào cản khác trong khung cảnh đơn điệu?$monotone$

Bài báo gần đây của Benjamin Rossman tóm tắt trạng thái của nghệ thuật cho sự phức tạp mạch đơn điệu của k-CLIQUE. Nói tóm lại, Razborov chứng tỏ là một giới hạn thấp hơn năm 1985, sau đó được cải thiện bởi Alon và Boppana năm 1987: , so với brute force trên ràng buộc O ( n k ) .$\omega(n^k/(\log n)^k)$$O(n^k)$

Show Rossman giới hạn dưới là cho mức độ phức tạp trung bình hợp cụ thể trong mô hình Erdős-Renyi của đồ thị ngẫu nhiên; Amano trước đây cho thấy điều này về cơ bản cũng là giới hạn trên. Bổ đề quasi-sunflower tạo thành một phần quan trọng của bài báo là khá gọn gàng.$\omega(n^{k/4})$

Vì vậy, rào cản bằng chứng tự nhiên dường như không áp dụng cho độ phức tạp mạch đơn.

Norbert Blum đã thảo luận về lý do tại sao các giới hạn thấp hơn cho các mạch đơn điệu về cơ bản là khác với các mạch có phủ định. Quan sát chính của Éva Tardos là một sửa đổi nhỏ của chức năng theta Lovász có độ phức tạp mạch đơn điệu theo cấp số nhân.

• Benjamin Rossman, Độ phức tạp đơn điệu của k-Clique trên đồ thị ngẫu nhiên , FOCS 2010.
• Norbert Blum, về những tiêu cực trong mạng Boolean , LNCS 5760 , 18 Tắt29 , 2009.
• É. Tardos, Khoảng cách giữa độ phức tạp của mạch đơn điệu và không đơn điệu là theo cấp số nhân , Combinatorica 8 , 141 Phản142 , 1987. doi: 10.1007 / BF02122563

Điểm được đưa ra một hàm boolean chung f có một hàm boolean đơn điệu g sao cho bất kỳ siêu tuyến tính nào bị ràng buộc dưới g đều hàm ý một trên f. Hoặc mạnh hơn độ phức tạp chung của f bằng độ phức tạp đơn điệu của g lên đến O (n).

Tôi vẫn không chắc làm thế nào điều này liên quan đến các rào cản.