Một phần mở rộng của toán tử tiếng ồn

16

Trong một vấn đề tôi hiện đang làm việc, một phần mở rộng của toán tử nhiễu phát sinh một cách tự nhiên và tôi tò mò liệu đã có công việc trước đó chưa. Trước tiên, hãy để tôi sửa lại toán tử nhiễu cơ bản $T_{\varepsilon}$ trên các hàm Boolean có giá trị thực. Với một hàm $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ và $\varepsilon$ , $p$ st $0 \leq \varepsilon \leq 1$ , $\varepsilon = 1 - 2p$ , chúng ta định nghĩa $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ là $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ là phân phối trên $y$ thu được bằng cách đặt từng bit củavectơ $n$ thành $1$ độc lập với xác suất $p$ và $0$ khác. Tương tự, chúng ta có thể nghĩ về quá trình này như lật từng bit của $x$ với xác suất độc lập $p$ . Bây giờ điều hành tiếng ồn này có nhiều đặc tính hữu ích, bao gồm cả việc nhân giống $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ và có giá trị riêng và vector riêng đẹp ( nơi thuộc về cơ sở chẵn lẻ). $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ $\chi_S$

Bây giờ tôi xác định phần mở rộng của tôi về , mà tôi biểu thị như . được cho bởi . Nhưng ở đây chúng tôi phân phối $T_\varepsilon$ $R_{(p_1,p_2)}$ $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ sao cho chúng ta lậtbit củathànhvới xác suất vàbit củathànhvới xác suất . ( bây giờ rõ ràng là một phân phối phụ thuộc vàonơi hàm được ước tính và nếu thì giảm xuống toán tử nhiễu 'thông thường'.) $\mu_{p,x}$ $1$ $x$ $0$ $p_1$ $0$ $x$ $1$ $p_2$ $\mu_{p,x}$ $x$ $p_1 = p_2$ $R_{(p_1,p_2)}$

Tôi đã tự hỏi, có phải toán tử đã được nghiên cứu kỹ ở đâu đó trong tài liệu không? Hoặc là các tính chất cơ bản của nó rõ ràng? Tôi chỉ mới bắt đầu với phân tích Boolean, vì vậy điều này có thể đơn giản với một người quen thuộc với lý thuyết hơn tôi. Đặc biệt tôi quan tâm đến việc nếu các hàm riêng và giá trị riêng có một số đặc tính tốt, hoặc liệu có bất kỳ thuộc tính nhân nào không. $R_{(p_1,p_2)}$

boolean-functions fourier-analysis

— Người thừa kế
nguồn

14

Tôi sẽ trả lời phần thứ hai của câu hỏi.

I. Eigenvalues và Eigenfifts

Trước tiên hãy xem xét trường hợp một chiều . Nó rất dễ dàng để kiểm tra xem các nhà điều hành có hai eigenfunctions: và với giá trị riêng và $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

, tương ứng.

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

Bây giờ hãy xem xét trường hợp chung. Đối với , chúng ta hãy . Quan sát rằng là một hàm riêng của . Thật vậy, vì tất cả các biến đều độc lập, chúng ta có $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

Chúng ta nhận thấy rằng là một hàm riêng của với giá trị riêng cho mỗi . Vì các hàm bao trùm toàn bộ không gian, $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ không có các hàm riêng khác (không phải là tổ hợp tuyến tính của ). $\xi_S(x)$

II. Tài sản nhân

Nói chung, thuộc tính nhân số của người Viking không giữ cho vì nguồn gốc của phụ thuộc vào và . Tuy nhiên, chúng tôi có nơi $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

và

. Để xác minh rằng, nốt nhạc đầu tiên mà

và

có cùng một bộ eigenfunctions

. Chúng tôi có,

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

từ

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

III. Liên quan đến nhà điều hành Bonami xông Beckner

$\{0,1\}^n$ ${\mathbb R}$ $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

{Một}_{δ} (f) = = f (x_{1} + δ, Giáo dục, x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$

f

$f$

A [f]

$A[f]$

R_{p_{1}, p_{2}} (f) = = {Một}_{δ}^{- 1} T_{ε} {Một}_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

— Yury
nguồn

Yury, cảm ơn bạn đã trả lời! Đó là một điểm khởi đầu tốt để tôi làm việc cùng; Bây giờ tôi có thể làm việc nếu có sự tương tự của bất bình đẳng siêu hợp đồng. Sẽ đăng lại ở đây nếu tôi nhận được bất kỳ phân tích thú vị hơn.

— Amir

Điều này rất lâu sau khi thực tế, nhưng tôi tò mò làm thế nào bạn có được phần thứ ba và mối quan hệ với nhà điều hành Becker Bonami?

— Amir

(a) Nó là đủ để kiểm tra danh tính cho

f = 1

$f=1$ và

f = x_{i}

$f=x_i$ . Nếu nó giữ cho

1

$1$ và

x_{i}

$x_i$ , sau đó thật dễ dàng để thấy rằng nó giữ cho tất cả các nhân vật. Theo tuyến tính, nó giữ cho tất cả các chức năng. (b) Ngoài ra, từ I,

T_{ε}

$T_\varepsilon$ và

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$ có cùng bộ giá trị riêng; người bản địa

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$ của

T

$T$ Những người tương ứng với người Việt Nam

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$ của

R

$R$ . Như vậy

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$ Trong đó A là bản đồ tuyến tính ánh xạ

ξ (x)

$\xi(x)$ đến

x

$x$ .

— Yury

3

Cuối cùng chúng tôi đã có thể phân tích các thuộc tính siêu hấp dẫn của $R_{p_1, p_2}$ ( http://arxiv.org/abs/1404.1191 ), xây dựng phân tích Fourier chính của $R_{p,0}$ của Ahlberg, Broman, Griffiths và Morris ( http://arxiv.org/abs/1108.0310 ).

Tóm lại, ảnh hưởng của toán tử sai lệch $R_{p,0}$ trên một chức năng $f$ có thể được phân tích như một toán tử nhiễu đối xứng trong một không gian đo sai lệch. Điều này mang lại một hình thức siêu co giãn yếu, phụ thuộc vào cách $\ell_2$ định mức $f$ thay đổi khi chuyển sang lựa chọn biện pháp thiên vị $\mu$ Phụ thuộc vào $p$ .

— Amir
nguồn

Bạn có thể muốn 'chấp nhận' câu trả lời này để câu hỏi không xuất hiện (từ chối trách nhiệm: Tôi là một tác giả trên tờ giấy được liên kết)

— Suresh Venkat