Ứng dụng của TCS vào toán học cổ điển?

Chúng tôi trong TCS thường sử dụng các kết quả và ý tưởng mạnh mẽ từ toán học cổ điển (đại số, cấu trúc liên kết, phân tích, hình học, v.v.).

Một số ví dụ về khi nó đã đi theo cách khác?

Đây là một số điều tôi biết (và cũng để đưa ra một hương vị của loại kết quả mà tôi đang hỏi về):

• Bọt hình khối (Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao, và Avi Wigderson: Khối cầu và làm tròn trong kích thước cao, FOCS 2008)
• Chương trình lý thuyết phức tạp hình học. .
• Làm việc trên các số liệu nhúng được lấy cảm hứng từ các thuật toán gần đúng và kết quả không thể gần đúng

Tôi đặc biệt không tìm kiếm các ứng dụng của TCS cho logic (lý thuyết mô hình hữu hạn, lý thuyết bằng chứng, v.v.) trừ khi chúng đặc biệt đáng ngạc nhiên - mối quan hệ giữa TCS và logic quá gần gũi và chuẩn mực và lịch sử cho mục đích của câu hỏi này.

Các bộ mở rộng đã được phát triển ở một mức độ lớn trong TCS và chúng có các kết nối và ứng dụng sâu sắc cho toán học.

Có bằng chứng của Dvir về lĩnh vực hữu hạn Kakeya phỏng đoán.

Một ví dụ dễ thương mà tôi biết là bài báo của Michael Freedman có tiêu đề " Các lớp phức tạp như các định nghĩa toán học " đưa ra hàm ý của trong lĩnh vực cấu trúc liên kết 3 mặt.$P^{\sharp P}\neq NP$

Các nguyên tắc bất biến được thúc đẩy từ độ cứng gần đúng, nhưng là các định lý phân tích hữu ích. Nguyên tắc: Hàm mức độ thấp, trong đó mỗi biến có ảnh hưởng nhỏ, hoạt động gần như giống nhau, bất kể đầu vào là biến ngẫu nhiên độc lập hay (biến tương ứng) biến ngẫu nhiên Gaussian. Đây là một khái quát của định lý giới hạn trung tâm; có chức năng là trung bình của các biến.

Độ ổn định tiếng ồn của các chức năng có ảnh hưởng thấp: bất biến và tối ưu E. Mossel, R. O'Donnell, K. Oleszkiewicz. Biên niên sử toán học 171 (1), trang 295-341 (2010). FOCS '05.

Các định lý kiểm tra mức độ thấp được thúc đẩy bởi các ứng dụng của PCP, nhưng là các định lý đại số thú vị. Nguyên tắc: Hàm biến đổi trên trường hữu hạn , trung bình trên các đường trong , gần với khoảng cách Hamming với đa thức bậc thấp trên đường thẳng , nằm gần khoảng cách Hamming với đa thức bậc thấp trên toàn bộ .F F n F $n$$F$$F^n$$F^n$

Sự gần gũi trong khoảng cách Hamming đến một đa thức bậc thấp trong một không gian nhất định có nghĩa là hàm xác định với đa thức bậc thấp trên một phần không gian không đáng kể.

Cải thiện kiểm tra mức độ thấp và các ứng dụng của nó . S. Arora và M. Sudan. Trong ACM STOC 1997.

Một thử nghiệm mức độ xác suất lỗi thấp liên tục và Đặc tính của PCP xác suất lỗi liên tục của NP , R.Raz, S.Safra, Tiến hành STOC lần thứ 29, 1997, tr. 47-484

Mặc dù tôi thiên vị, tôi nghĩ thật công bằng khi nói rằng nhiều ý tưởng khác nhau từ TCS đã góp phần thúc đẩy tiến trình phỏng đoán ngược cho định mức Gowers, xem ví dụ như bài báo của Green và Tao .

Là lý thuyết tính toán một phần của TCS? Nếu vậy, thì Lý thuyết tính toán và Hình học vi phân của Bob Soare, trong đó trưng bày các ứng dụng về kết quả mà ông thu được với Csima, là một ví dụ.

Không biết tại sao liên kết không hiển thị .... Tại đây: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

Extractors là một nơi khác để tìm. Ví dụ, bài báo của Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04 đưa ra (trong số những thứ khác) các cấu trúc cải tiến của đồ thị Ramsey (một vấn đề đã được mở trong một thời gian trong các toán học rời rạc).

De Wolf và Drucker đã đề cập trong cuộc khảo sát của họ về bằng chứng lượng tử về mối liên hệ đáng ngạc nhiên giữa độ phức tạp của truy vấn lượng tử và đúng các hàm đối xứng bằng đa thức.$\epsilon$

Cấu trúc mở rộng Zig-Zag được sử dụng để xây dựng các ví dụ thú vị khác nhau của các nhóm với các thuộc tính bất ngờ nhất định, xem Meshulam-Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson . Bản thân việc xây dựng rất thú vị theo quan điểm toán học thuần túy, vì nó đã sử dụng các công cụ hoàn toàn khác nhau (được thúc đẩy bởi quan điểm CS về xử lý entropy) để xây dựng các bộ mở rộng so với các công trình trước đây. (Tuy nhiên, có lẽ ứng dụng nổi tiếng nhất nằm trong thuật toán logspace của TCS- Reingold cho kết nối không mong muốn .)

Hãy để tôi đề cập đến một vài ứng dụng nữa:

Có lẽ đóng góp quan trọng nhất của TCS đối với toán học thuần túy là nghệ thuật cắt giảm. Việc giảm dạng được TCS sử dụng trong độ phức tạp tính toán và các vị trí khác thể hiện một mô hình / công cụ toán học được phát triển hơn trong TCS so với các lĩnh vực toán học khác.

Khái niệm về một bằng chứng xác suất: Ở đây tôi không đề cập đến phương pháp xác suất (bắt nguồn từ toán học nhưng có nhiều ứng dụng cho CS) mà thực tế là một tuyên bố toán học như tuyên bố tuyên bố một số nhất định là số nguyên tố, có thể được đưa ra một bằng chứng "vượt quá mọi nghi ngờ hợp lý". Đây là một bước đột phá về mặt khái niệm đến từ CS, mặc dù nó chưa có nhiều ứng dụng trong cách thực hành toán học.

Bằng chứng mang tính xây dựng của Mosk về Bổ đề địa phương Lovasz sử dụng các ý tưởng khoa học máy tính, đưa ra một bằng chứng mới về bổ đề địa phương Lovasz và giải quyết một vấn đề mà mọi người đã suy nghĩ khá lâu.

Các Batson-Spielman-Srivastava phương pháp chức năng bảo vệ đã có một số ứng dụng cho hình học và phân tích chức năng, nảy sinh trong khoa học máy tính, và là một hình thức rất ban đầu của các đối số chức năng tiềm năng, gợi nhớ đến những phương pháp ước lượng bi quan. Hơn nữa, nó đi ngược lại với sự khôn ngoan thông thường rằng việc phân tích đa thức đặc trưng của ma trận ngẫu nhiên là khó hiểu, và người ta tốt hơn là nhìn vào các khoảnh khắc ma trận thay thế.

Phương pháp hàm rào cản được phát triển đầu tiên để chứng minh sự tồn tại của (và xây dựng trong thời gian đa thức xác định) của các đồ thị bảo toàn tính chất phổ của chúng. Các sparsifier như vậy được thúc đẩy bởi các ứng dụng thuật toán: về cơ bản, bất kỳ thuật toán nào cần tính toán các phép cắt xấp xỉ đều có thể được tăng tốc bằng cách đưa ra làm đầu vào một phiên bản thưa thớt của đầu vào ban đầu.

Tuy nhiên, ngoài sparsifier, phương pháp này đã có rất nhiều ứng dụng, nhiều ứng dụng được Assaf Naor khảo sát trong bài báo này . Một số ví dụ nổi bật là xây dựng các biểu đồ giãn nở có trọng số, phân tách John gần đúng với số điểm ít hơn, giảm kích thước của các tập hợp con / không gian con của , một phiên bản chặt chẽ của nguyên tắc khả năng đảo ngược bị hạn chế của Bourgain và Tzafriri. Đối với tất cả các ứng dụng trên, phương pháp hàm rào cản mang lại giới hạn chặt chẽ, đưa ra thuật toán xác định hiệu quả bên cạnh bằng chứng tồn tại và thường cung cấp bằng chứng cơ bản hơn so với các phương pháp trước đó (mặc dù không phải không có một số tính toán lông).$\ell_1^n$

Chuyển nhanh đến năm 2013, và phương pháp chức năng rào cản, trên steroid và được tăng cường bằng máy móc đa thức xen kẽ, được Marcus, Srivastava và Spielman sử dụng để giải quyết một trong những vấn đề nổi tiếng nhất trong phân tích chức năng, vấn đề Kadison-Singer . Vấn đề này phát sinh từ các câu hỏi cơ bản trong vật lý toán học, nhưng nó còn đi xa hơn - nó được biết là tương đương với hàng tá vấn đề trên toàn bộ toán học. Chưa kể rằng nhiều nhà phân tích (bao gồm Kadison và Ca sĩ) thậm chí không nghĩ rằng vấn đề có giải pháp tích cực (khảo sát được trích dẫn bởi Cassaza và cộng sự suy đoán về các phản ứng có thể xảy ra).

Một ví dụ xuất hiện trong đầu là Định lý nhúng của Higman và đó là hậu quả lý thuyết nhóm.

Định lý nhúng của Higman: Một nhóm G được tạo ra một cách hữu hạn với phần trình bày đệ quy iff G là một nhóm nhỏ của một nhóm được trình bày chính xác.

(Lưu ý rằng phần bên trái của sự tương đương có một thành phần tính toán trong khi bên phải hoàn toàn là lý thuyết nhóm).

Ý nghĩa của tính ngẫu nhiên , những gì được coi là "chuỗi ngẫu nhiên" và các câu hỏi liên quan rất quan trọng trong toán học, lý thuyết xác suất và thống kê trong nhiều thế kỷ. Khoa học máy tính lý thuyết (và lý thuyết phức tạp) cung cấp những hiểu biết sâu sắc và thuyết phục rất mạnh mẽ cho sự hiểu biết về tính ngẫu nhiên.

Trong khi phương pháp xác suất bắt đầu trong quá trình khử cộng đồng toán học , một khái niệm toán học quan trọng chủ yếu được phát triển trong CS.

Điều này có liên quan đến câu trả lời của Moritz .

Lý thuyết tự động và đại số

Lý thuyết Automata đã đưa ra một số kết quả thú vị để mô tả tính đại số. Tôi đề cập đến hai trong số họ, với tài liệu tham khảo. Đó là bằng cách không đầy đủ.

1. Một đóng cửa đại số của$\mathbb F_q(t)$

Đặt là trường hàm hợp lý trên trường hữu hạn với các phần tử , trong đó cho một số nguyên tố và số nguyên . Đặt là vòng của chuỗi quyền lực chính thức trên .$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

Người ta có thể mô tả chuỗi theo đại số$\mathbb F_q(t)$ , đó là gốc của đa thức monic với các hệ số trong , sử dụng mô tả lý thuyết tự động.$\mathbb F_q(t)$

Định lý (Christol [1]). Một chuỗi chính thức là đại số trên khi và chỉ khi chuỗi là động.$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

Trên thực tế, phương pháp này cho phép đưa ra một mô tả về việc đóng đại số của . Được biết, trường của chuỗi lũy thừa tổng quát có dạng trong đó là một tập hợp con được sắp xếp hợp lý của , chứa một bao đóng đại số của . Một lần nữa, chuỗi lũy thừa tổng quát có thể được mô tả bằng cách sử dụng mô tả lý thuyết tự động.$\mathbb F_q(t)$

Định lý (Kedlaya [2]). Một chuỗi tổng quát là đại số trên khi và chỉ khi chuỗi là -quasi-tự động.$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. Số siêu việt

Trình tự tự động cũng được sử dụng để mô tả các số siêu việt. Ví dụ,

Định lý (Adamczewski & Bugeaud [3]). Đặt là số nguyên . Hãy và để cho là chuỗi các chữ số của cơ sở- nó đại diện.≥ 2 x ∈ R x = { x i } ∞ i = 0$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. Nếu cuối cùng là định kỳ, thì là hợp lý;$\mathbf x$$x$
2. Nếu là -automatic (nhưng cuối cùng không phải là định kỳ), thì là siêu việt; b $\mathbf x$$b$$x$
3. Khác, là một số vô tỷ đại số.$x$

Tất nhiên, mục đầu tiên là một kết quả rất cổ điển!

Người giới thiệu.

[1] Gilles Christol. Bộ sưu tập périodiques k-reconnaissables . Trong Khoa học máy tính lý thuyết 9 (1), trang 141-145, 1979.

[2] Kiran S. Kedlaya. Tự động hữu hạn và phần mở rộng đại số của các trường chức năng . Trong Tạp chí de théorie des nombres de Bordeaux 18 , trang 379-420, 2006. arXiv: math / 0410375 .

[3] Boris Adamcweski, Yann Bugeaud. Về độ phức tạp của các số đại số I. Mở rộng trong các số nguyên . Trong Biên niên sử toán học 165 (2), trang 547-565, 2007.

Trong bài viết Các chương trình đường thẳng và điểm xoắn trên các đường cong Elliptic , Qi Cheng liên quan đến -conjecture của Bürgisser (một biến thể của Shub và Smale's -conjecture¹) với Định lý xoắn.$L$$\tau$

Rất đại khái, nếu -conjecture là đúng (hoặc phiên bản yếu hơn của nó), thì người ta có thể "dễ dàng" suy ra cả hai định lý này. Bằng chứng ban đầu của họ khó hơn nhiều.$L$

¹ Các -conjecture khẳng định rằng nếu một đa thức có một chương trình không đổi miễn phí đường thẳng (hoặc mạch số học) của kích thước , số của rễ nguyên là tại hầu hết đối với một số tuyệt đối hằng số .p τ ( 1 + τ ) c$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

IMHO TCS là một nhánh của toán học và tôi sẽ đặt nó rộng hơn một chút. Chúng ta sống trong thời đại thuật toán, hầu hết mọi người, trong tất cả các hoạt động của con người, phát minh / tái tạo thuật toán, chủ yếu là heuristic. Nhưng một số thuật toán đó là 1. tốt; 2. chứa (chôn) câu trả lời cho các câu hỏi toán học sâu sắc; 3. Chờ phân tích / cải tiến / chú ý toán học chuyên nghiệp. Kinh nghiệm cá nhân của tôi: một sức mạnh đáng kinh ngạc của một heuristic vật lý / máy học, cụ thể là xấp xỉ Bethe, như một kỹ thuật chứng minh. Vấn đề chính là những cuộc gặp gỡ có thể xảy ra kiểu này chủ yếu xảy ra trong ngành, nơi không ai quan tâm đến những hiểu biết / tiết lộ không liên quan đến sản phẩm đó.