Cấu trúc trong chứng minh tự nhiên và độ phức tạp hình học

Gần đây, Ryan Willams đã chứng minh rằng Cấu trúc trong Bằng chứng tự nhiên là không thể tránh khỏi để rút ra sự phân tách các lớp phức tạp: $\mathsf{NEXP}$ và $\mathsf{TC}^{0}$ .

Cấu trúc trong Bằng chứng tự nhiên là điều kiện mà tất cả các bằng chứng tổ hợp về độ phức tạp của mạch đều thỏa mãn và chúng ta có thể quyết định liệu hàm mục tiêu trong $\mathsf{NEXP}$ (hay một lớp phức tạp "cứng" khác) có thuộc tính "cứng" bằng thuật toán chạy trong đa thời gian trong chiều dài của bảng chân lý của hàm mục tiêu.

Hai điều kiện còn lại là: điều kiện vô dụng đòi hỏi thuộc tính "cứng" không thể được tính bằng bất kỳ mạch nào trong $\mathsf{TC}^0$ và điều kiện lớn mà tài sản cứng dễ tìm thấy.

Câu hỏi của tôi là :

Kết quả này có làm cho Lý thuyết phức tạp hình học (GCT) không có sẵn để giải quyết các vấn đề phân tách chính như $\mathsf{P}$ vs $\mathsf{NP}$ , $\mathsf{P}$ vs $\mathsf{NC}$ hoặc $\mathsf{NEXP}$ vs $\mathsf{TC}^0$ không?

Tài liệu tham khảo:

• Ryan Williams, " Bằng chứng tự nhiên Versus Derandomization "

Không, tính không thể tránh khỏi của cấu trúc chắc chắn vẫn để GCT mở như một kế hoạch tấn công khả thi đối với các vấn đề ràng buộc thấp hơn như so với P / p o l y .$NP$$P/poly$

Đầu tiên, điều đáng nói là kết quả của Ryan về tính xây dựng rất giống với cái gọi là "Định lý lật" của Mulmuley, ví dụ, nói rằng, nếu vĩnh viễn không có mạch số học đa kích thước, thì có một Tập hợp ngẫu nhiên đa thời gian của các ma trận (đa thức) sao cho mỗi mạch nhỏ khác với vĩnh viễn trên một trong các ma trận này. Xem Bằng chứng rõ ràng và The Flip, Báo cáo kỹ thuật, Khoa Khoa học Máy tính, Đại học Chicago, tháng 9 năm 2010 bởi Mulmuley.$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

Thứ hai, tính trung tâm của đặc tính đối xứng (đã được đề cập bởi siuman) trong GCT đã trở nên rõ ràng hơn kể từ cuộc khảo sát của Regan. Nếu đặc tính đối xứng hóa ra là rất quan trọng đối với GCT vì có vẻ như nó sẽ xảy ra, thì điều này đã xoay quanh điều kiện lớn. Đối với định nghĩa về đặc tính đối xứng, xem câu trả lời này cho một câu hỏi liên quan chặt chẽ trước đó .

Để chứng minh rằng đặc tính đối xứng vi phạm quy mô lớn, hãy xem Phần 3.4.3 "Đặc tính đối xứng tránh rào cản Razboroviêu Rudich" trong luận án của tôi (tự cắm không biết xấu hổ, nhưng tôi không biết nơi nào khác được viết hoàn toàn như vậy) . Tôi nghi ngờ nó cũng vi phạm tính xây dựng, nhưng để lại đó là một câu hỏi mở ở đó. (Trước đó trong Chương 3 cũng có một cái nhìn tổng quan về các định lý lật trong GCT và cách chúng liên quan đến đặc tính đối xứng.)

(Tôi thấy thú vị khi mô tả tính đối xứng - chính đặc tính mà chúng tôi nghi ngờ sẽ được sử dụng trong GCT xung quanh Razborov - Rudich - được sử dụng để chứng minh các định lý lật, về cơ bản nói rằng tính xây dựng là cần thiết.)

Cuối cùng, điều đáng nói là mặc dù về lâu dài GCT nhằm giải quyết so với P / p o l y và các vấn đề Boolean khác, hiện tại hầu hết công việc trong GCT đều tập trung vào các tương tự đại số của các vấn đề này, chẳng hạn như phức tạp những con số, và vẫn chưa có tương tự đại số của Razborov - Rudich (mà tôi biết).$NP$$P/poly$

$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

$P$$NP$

Một vài ý kiến ​​khác về điều này: mối quan hệ giữa GCT và Bằng chứng tự nhiên đã được thảo luận trong quá khứ (ngay cả trong các tài liệu GCT gốc). Mặc dù dường như không có sự đồng thuận về việc "tính xây dựng" hay "độ lớn" sẽ bị vi phạm theo cách tiếp cận GCT, Mulmuley và Sohoni đã tranh luận tại một điểm rằng nếu GCT có thể được thực hiện thì nó sẽ vi phạm quy mô. Để tham khảo có liên quan, xem Phần 6 về tổng quan về GCT của Regan . Tuy nhiên, tôi nên nói thêm rằng tổng quan này đã được 10 năm và một số lượng đáng kể công việc đã đi vào GCT kể từ đó; Tôi không chắc chắn nếu có bất kỳ ý kiến ​​sửa đổi / mới về điều này. (Có lẽ Josh Grochow có thể kêu vang?)

Câu trả lời ngắn gọn là Không .

Phương pháp lý thuyết phức tạp hình học nhắm vào một số tài sản cực kỳ hiếm, mà Mulmuley lập luận là không "lớn" như định nghĩa của Razborov và Rudich. Để tranh luận chính thức, xem thêm luận điểm của Joshua Grochow , Phần 3.4.3 Đặc tính đối xứng tránh được rào cản Razboroviêu Rudich và câu trả lời của anh ta .

Đoạn văn sau xuất phát từ On P so với NP và Lý thuyết phức tạp hình học của Ketan Mulmuley ( JACM 2011 hoặc bản thảo ), Phần 4.3 Kế hoạch cấp cao :

Mục tiêu là để thực hiện các bước này một cách rõ ràng, khai thác đặc tính bằng các đối xứng của vĩnh viễn và xác định. Chúng ta sẽ xác định rõ nghĩa là gì sau này; xem Giả thuyết 4.6. Cách tiếp cận này cực kỳ cứng nhắc theo nghĩa là nó chỉ hoạt động cho các chức năng cứng cực kỳ hiếm được đặc trưng bởi các đối xứng của chúng. Độ cứng cực cao này là nhiều hơn nhiều so với những gì cần thiết để vượt qua hàng rào bằng chứng tự nhiên [Razborov và Rudich 1997].

Vì cả hai điều kiện về tính xây dựng và độ lớn đều cần thiết cho một bằng chứng tự nhiên (trong đó tính hữu dụng là ẩn), việc chứng minh rằng tính xây dựng là không thể tránh khỏi là không đủ để loại trừ các cách tiếp cận như vậy (mặc dù một bước tiến lớn).