Lấy mẫu từ ô Voronoi của một điểm

Sửa một tập hợp điểm P ⊂ R d . Bây giờ một điểm truy vấn q đến và mục tiêu được tạo ra một điểm r được lấy mẫu một cách ngẫu nhiên từ ô Voronoi của q trong tập P ∪ { q } .$n$$P \subset \mathbb{R}^d$$q$$r$$q$$P \cup \{q\}$

Với mục đích của câu hỏi này, bạn có thể giả sử rằng ô Voronoi của luôn bị giới hạn (ví dụ q luôn nằm trong thân lồi của P ).$q$$q$$P$

Có bất cứ điều gì được biết về vấn đề này?

Một số hạn chế:

• Tôi có thể muốn nhiều hơn một mẫu từ ô Voronoi của . Đây phải là IID.$q$
• Tôi được phép xử lý trước các điểm, nhưng tôi không thể dành thời gian theo cấp số nhân trong .$d$
• Mẫu phải được tạo theo thời gian tuyến tính theo và đa thức trong d lý tưởng.$n$$d$

Lưu ý rằng quy tắc trên loại bỏ tính toán tế bào Voronoi một cách rõ ràng. Cũng lưu ý rằng mặc dù cách tiếp cận lấy mẫu từ chối sẽ mang lại một mẫu thống nhất, nhưng không rõ làm thế nào để thực hiện nó một cách hiệu quả.

Quá ngắn cho một nhận xét ... Sau đây là trực quan bla bla, và cảm thấy tự do không mua nó.

Điều đó dường như rất khó xảy ra - giả sử các điểm được phân bố đồng đều, số lượng lân cận của ô sẽ là 2 $q$$2^d$. Đây có thể là một cuộc tranh luận chính thức hơn. Chọn một tập hợp các điểm trên siêu cầu đơn vị sao cho góc giữa hai điểm bất kỳ ít nhất, tôi không biết, 80 độ. Chúng ta biết rằng người ta có thể chọn một số mũ theo số mũ trên mặt cầu mà không cần quá nhiều nỗ lực nếu kích thước đủ lớn. Bây giờ, theo trực giác, đối với bất kỳ tập hợp con nào bằng một nửa điểm, ô Voronoi của tâm hình cầu sẽ có thể tích gần gấp đôi khi so với thể tích ô với tất cả các điểm. Điều này chủ động ngụ ý bạn phải kiểm tra tất cả các điểm để có được ước tính khối lượng tốt. Điều đó dường như ngụ ý, một lần nữa theo trực giác, việc lấy mẫu thống nhất sẽ là không thể, vì các vấn đề dường như tương đương về mặt đa thức ...